ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 7 / вариант 1 - 5

**5.** Дана функция: $$ y = 2x + 1 $$ **1. Нахождение обратной функции** Функция $y = 2x + 1$ определена на множестве всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$) и является строго возрастающей (так как угловой коэффициент $k = 2 > 0$). Следовательно, эта функция обратима на всей числовой прямой. Выразим переменную $x$ через $y$: $$ 2x = y - 1 $$ $$ x = \frac{y - 1}{2} $$ $$ x = \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} $$ Поменяем обозначения переменных ($x$ на $y$, а $y$ на $x$): $$ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \quad (\text{или } y = 0{,}5x - 0{,}5) $$ Таким образом, обратной к данной функции является функция $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. --- **2. Построение графиков** Графиками обеих функций являются прямые линии. Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой $y = x$ (биссектрисы I и III координатных четвертей). Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек. 1) Для графика функции $y = 2x + 1$: * если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$ — точка $(0; 1)$; * если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ — точка $(1; 3)$; * если $x = -1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$ — точка $(-1; -1)$. 2) Для графика обратной функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$: * если $x = 1$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = 0$ — точка $(1; 0)$; * если $x = 3$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} = 1$ — точка $(3; 1)$; * если $x = -1$, то $y = \frac{1}{2} \cdot (-1) - \frac{1}{2} = -1$ — точка $(-1; -1)$. 3) Вспомогательная прямая $y = x$ проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; -1)$. Обе прямые пересекаются на оси симметрии $y = x$ в точке $(-1; -1)$. **План построения рисунка в тетради:** 1. Начертить прямоугольную систему координат $xOy$ и отметить единичный отрезок (1 клетка = 1 единица). 2. Построить пунктирной линией прямую $y = x$. 3. Отметить точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$, провести через них сплошную прямую — график функции $y = 2x + 1$. 4. Отметить точки $(1; 0)$ и $(3; 1)$, провести через них вторую прямую — график функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. **Ответ:** обратная функция: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.