ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 7 / вариант 1 - 7

1. **Исследование исходной функции $y = (x + 2)^2$ при $x \leq -2$:** * Область определения: $$D(y) = (-\infty; -2]$$ * Множество значений: так как $x \leq -2$, то $x + 2 \leq 0$, а значит, $(x + 2)^2 \geq 0$. При $x = -2$ получаем $y = 0$, а при уменьшении $x$ значения $y$ неограниченно возрастают: $$E(y) = [0; +\infty)$$ * Монотонность: на промежутке $(-\infty; -2]$ функция непрерывна и строго убывает, следовательно, она обратима. 2. **Нахождение формулы обратной функции:** Выразим переменную $x$ через $y$: $$y = (x + 2)^2$$ Так как $y \geq 0$, извлечем арифметический квадратный корень из обеих частей уравнения: $$\sqrt{y} = \sqrt{(x + 2)^2}$$ $$\sqrt{y} = |x + 2|$$ По условию $x \leq -2$, следовательно, подмодульное выражение неположительно: $x + 2 \leq 0$. По определению модуля $|x + 2| = -(x + 2)$: $$\sqrt{y} = -(x + 2)$$ $$x + 2 = -\sqrt{y}$$ $$x = -2 - \sqrt{y}$$ Поменяв местами обозначения зависимой и независимой переменных ($x$ на $y$, а $y$ на $x$), получим формулу обратной функции: $$y = -2 - \sqrt{x}$$ 3. **Свойства обратной функции:** * Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной: $$D = [0; +\infty)$$ * Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $$E = (-\infty; -2]$$ 4. **Точки для построения графиков:** Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$. * Для функции $y = (x + 2)^2$ ($x \leq -2$): * при $x = -2$: $y = (-2 + 2)^2 = 0 \implies (-2; 0)$; * при $x = -3$: $y = (-3 + 2)^2 = 1 \implies (-3; 1)$; * при $x = -4$: $y = (-4 + 2)^2 = 4 \implies (-4; 4)$; * при $x = -5$: $y = (-5 + 2)^2 = 9 \implies (-5; 9)$. График представляет собой левую ветвь параболы с вершиной в точке $(-2; 0)$. * Для обратной функции $y = -2 - \sqrt{x}$ ($x \geq 0$): * при $x = 0$: $y = -2 - \sqrt{0} = -2 \implies (0; -2)$; * при $x = 1$: $y = -2 - \sqrt{1} = -3 \implies (1; -3)$; * при $x = 4$: $y = -2 - \sqrt{4} = -4 \implies (4; -4)$; * при $x = 9$: $y = -2 - \sqrt{9} = -5 \implies (9; -5)$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(0; -2)$ вправо и вниз. **Ответ:** Обратная функция: $y = -2 - \sqrt{x}$; область определения: $D = [0; +\infty)$; множество значений: $E = (-\infty; -2]$.