ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 7 / вариант 1 - 3

Построим график функции $y = 2 - x^3$ и укажем её основные свойства. ### 1. Свойства функции 1. **Область определения:** выражение определено при любых действительных значениях $x$, то есть $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ 2. **Множество значений:** $$E(y) = (-\infty; +\infty)$$ 3. **Чётность/нечётность:** $$y(-x) = 2 - (-x)^3 = 2 + x^3$$ Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 4. **Точки пересечения с осями координат:** * с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$y(0) = 2 - 0^3 = 2$$ Точка пересечения: $(0; 2)$. * с осью $Ox$ (при $y = 0$): $$2 - x^3 = 0 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$$ Точка пересечения: $(\sqrt[3]{2}; 0)$. 5. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (-\infty; \sqrt[3]{2})$; * $y < 0$ при $x \in (\sqrt[3]{2}; +\infty)$. 6. **Монотонность:** Так как функция $y = x^3$ строго возрастает на всей числовой прямой, функция $y = -x^3$ строго убывает на $\mathbb{R}$. Смещение на константу не меняет характер монотонности, следовательно, функция $y = 2 - x^3$ строго убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. --- ### 2. Геометрические преобразования График функции $y = 2 - x^3$ получается из базового графика кубической параболы $y = x^3$ с помощью следующих преобразований: 1. Симметричное отображение графика $y = x^3$ относительно оси $Ox$ — получаем график $y = -x^3$. 2. Параллельный перенос полученного графика вдоль оси $Oy$ вверх на $2$ единицы — получаем график функции $y = -x^3 + 2$, то есть $y = 2 - x^3$. Центр симметрии (точка перегиба) смещается из начала координат $(0; 0)$ в точку $(0; 2)$. --- ### 3. Таблица значений и опорные точки Составим таблицу значений для построения: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $10$ | $3$ | $2$ | $1$ | $-6$ | * При $x = -2$: $y = 2 - (-2)^3 = 2 - (-8) = 10$; * При $x = -1$: $y = 2 - (-1)^3 = 2 - (-1) = 3$; * При $x = 0$: $y = 2 - 0 = 2$; * При $x = 1$: $y = 2 - 1^3 = 1$; * При $x = 2$: $y = 2 - 2^3 = 2 - 8 = -6$. По полученным точкам $(-1; 3)$, $(0; 2)$, $(1; 1)$, а также с учётом пересечения оси абсцисс в точке $(\sqrt[3]{2}; 0)$, строится плавная кубическая кривая, проходящая из второй координатной четверти в четвёртую.