ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 7 / вариант 1 - 2

Для функции $y = \frac{5}{2-x}$ найдем область определения, множество значений и обратную функцию. ### 1. Область определения и множество значений 1) Дробь имеет смысл, если её знаменатель не равен нулю: $$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$$ Таким образом, область определения функции: $$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$$ 2) Так как числитель дроби равен $5$ и не равен нулю, значение $y$ ни при каких допустимых $x$ не может равняться нулю ($y \neq 0$). Следовательно, множество значений функции: $$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$ Функция строго возрастает на каждом из интервалов $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, поэтому на всей области определения она взаимно однозначна и имеет обратную функцию. --- ### 2. Нахождение обратной функции Выразим переменную $x$ через $y$: $$y = \frac{5}{2 - x}$$ Умножим обе части равенства на $(2 - x) \neq 0$: $$y(2 - x) = 5$$ $$2y - xy = 5$$ $$xy = 2y - 5$$ Так как $y \neq 0$, разделим обе части на $y$: $$x = \frac{2y - 5}{y}$$ Поменяем переменные $x$ и $y$ местами: $$y = \frac{2x - 5}{x} \quad \left(\text{или } y = 2 - \frac{5}{x}\right)$$ Для полученной обратной функции: * Область определения: $D = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; * Множество значений: $E = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. --- **Ответ:** Функция, обратная к данной: $y = \frac{2x - 5}{x}$ (где $x \neq 0$).