ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 57

Для построения графика кусочно-заданной функции $$ y = \begin{cases} |(x + 2)^{-1}|, & \text{если } x \geq -3, \\ \sqrt[3]{2 - x}, & \text{если } x < -3 \end{cases} $$ исследуем поведение функции на каждом промежутке. ### 1. Область определения функции Выражение $(x + 2)^{-1} = \dfrac{1}{x + 2}$ определено при всех $x \neq -2$. Корень третьей степени $\sqrt[3]{2 - x}$ определен при всех действительных $x$. Таким образом, область определения функции: $$ D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty). $$ --- ### 2. Построение графика при $x < -3$ На промежутке $(-\infty; -3)$ функция имеет вид: $$ y = \sqrt[3]{2 - x}. $$ * График представляет собой ветвь кубической параболы, зеркально отраженную относительно оси ординат (из-за знака минус перед $x$) и смещенную на 2 единицы вправо. * Функция строго убывает на промежутке $(-\infty; -3)$. * При $x \to -\infty$ значения функции $y \to +\infty$. * Граничное значение при приближении к точке $x = -3$ слева: $$ \lim_{x \to -3^-} \sqrt[3]{2 - x} = \sqrt[3]{2 - (-3)} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}71. $$ Точка $(-3; \sqrt[3]{5})$ не принадлежит графику этой части (является «выколотой»). Составим таблицу контрольных точек для этого участка: | $x$ | $-10$ | $-6$ | $-3$ (выколотая) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\sqrt[3]{12} \approx 2{,}29$ | $\sqrt[3]{8} = 2$ | $\sqrt[3]{5} \approx 1{,}71$ | --- ### 3. Построение графика при $x \geq -3$ ($x \neq -2$) Преобразуем выражение: $$ y = \left|(x + 2)^{-1}\right| = \left|\frac{1}{x + 2}\right| = \frac{1}{|x + 2|}. $$ График получается из графика функции $y = \dfrac{1}{x + 2}$ зеркальным отражением частей, лежащих ниже оси $Ox$, в верхнюю полуплоскость (значения $y$ строго положительны при всех $x \neq -2$). * **Асимптоты:** * Прямая $x = -2$ — вертикальная асимптота. При приближении к ней как слева, так и справа, значения $y \to +\infty$: $$ \lim_{x \to -2} \frac{1}{|x + 2|} = +\infty. $$ * Прямая $y = 0$ (ось $Ox$) — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$. * **Поведение на полуинтервале $[-3; -2)$:** Здесь $x + 2 < 0$, следовательно, $y = -\dfrac{1}{x + 2}$. Функция строго возрастает от значения $y = 1$ в точке $x = -3$ до $+\infty$. * При $x = -3$: $y(-3) = \dfrac{1}{|-3 + 2|} = 1$ (точка $(-3; 1)$ входит в график, закрашенная). * **Поведение на луче $(-2; +\infty)$:** Здесь $x + 2 > 0$, следовательно, $y = \dfrac{1}{x + 2}$. Функция строго убывает от $+\infty$ до $0$. * Пересечение с осью $Oy$ (при $x = 0$): $y(0) = \dfrac{1}{0 + 2} = 0{,}5$. Составим таблицу контрольных точек для $x \ge -3$: | $x$ | $-3$ | $-2{,}5$ | $-2{,}2$ | $-2$ | $-1{,}8$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $0$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1$ | $2$ | $5$ | не сущ. | $5$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ | --- ### 4. Описание готового графика 1. При $x < -3$ строится плавная убывающая кривая $y = \sqrt[3]{2 - x}$, которая идет из второго квадранта сверху вниз и оканчивается выколотой точкой $(-3; \sqrt[3]{5})$. 2. В точке $x = -3$ происходит скачок: отмечается закрашенная точка $(-3; 1)$. 3. На интервале $[-3; -2)$ строится ветвь гиперболы, поднимающаяся от точки $(-3; 1)$ вверх вдоль вертикальной асимптоты $x = -2$. 4. На интервале $(-2; +\infty)$ строится вторая ветвь гиперболы, спускающаяся из $+\infty$ вдоль асимптоты $x = -2$, проходящая через точки $(-1; 1)$, $(0; 0{,}5)$ и асимптотически приближающаяся к оси $Ox$ сверху при $x \to +\infty$.