ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 45

**45. (6)** Построить график функции $y = 1 + \sqrt[3]{x}$. ### 1. Основные свойства функции 1. **Область определения:** Подкоренное выражение корня нечётной степени может принимать любые действительные значения, поэтому: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. **Множество значений:** Так как область значений функции $\sqrt[3]{x}$ есть вся числовая прямая, то: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) $$ 3. **Чётность / нечётность:** $$ y(-x) = 1 + \sqrt[3]{-x} = 1 - \sqrt[3]{x} $$ Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 4. **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y = 1 + \sqrt[3]{0} = 1 \implies (0; 1) $$ * С осью $Ox$ (при $y = 0$): $$ 1 + \sqrt[3]{x} = 0 \implies \sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1 \implies (-1; 0) $$ 5. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$ * $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1)$ 6. **Монотонность:** Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, следовательно, функция $y = 1 + \sqrt[3]{x}$ также строго возрастает на всей области определения: $x \in (-\infty; +\infty)$. --- ### 2. Геометрическое преобразование и построение График функции $y = 1 + \sqrt[3]{x}$ получается из графика базовой кубической функции $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ вверх на $1$ единицу. Составим таблицу контрольных точек для построения: | $x$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\sqrt[3]{x}$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | $y = 1 + \sqrt[3]{x}$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | **Схема построения:** 1. Отмечаем на координатной плоскости точки: $(-8; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(8; 3)$. 2. Соединяем их плавной непрерывной кривой, характерной для кубического корня (с точкой перегиба в $(0; 1)$ и вертикальной касательной к графику в этой точке).