ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 1 - 9

**4)** Исследуем свойства степенной функции $y = x^{-7}$ и схематично построим её график. Перепишем функцию в виде дроби: $$ y = \frac{1}{x^7} $$ ### Свойства функции: 1. **Область определения** Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^7 \neq 0 \implies x \neq 0$. $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Множество значений** Так как числитель равен $1 \neq 0$, значение функции не может быть равно нулю. При этом $y$ может принимать любые другие действительные значения: $$ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 3. **Чётность / нечётность** Область определения симметрична относительно нуля. Проверим значение функции при аргументе $-x$: $$ y(-x) = (-x)^{-7} = \frac{1}{(-x)^7} = -\frac{1}{x^7} = -y(x) $$ Функция является **нечётной**. Её график симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$. 4. **Нули функции и промежутки знакопостоянства** - Нулей функция не имеет ($y \neq 0$ на всей области определения). - $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$ (график расположен в I координатной четверти). - $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ (график расположен в III координатной четверти). 5. **Промежутки монотонности** Показатель степени равен $-7$ — нечётное отрицательное число. - Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$. - Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$. 6. **Асимптоты** - При $x \to 0$ значения $|y| \to +\infty$, поэтому прямая $x = 0$ (ось ординат $Oy$) является **вертикальной асимптотой**. - При $x \to \pm\infty$ значения $y \to 0$, поэтому прямая $y = 0$ (ось абсцисс $Ox$) является **горизонтальной асимптотой**. ### Таблица характерных точек для построения: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-\frac{1}{128}$ | $-1$ | $-128$ | $128$ | $1$ | $\frac{1}{128}$ | ### Поведение графика: График функции $y = x^{-7}$ представляет собой гиперболу нечётной степени: - ветвь в I четверти проходит через точку $(1; 1)$, круто поднимается вдоль оси $Oy$ вверх при приближении $x$ к нулю справа и быстро приближается к оси $Ox$ сверху при увеличении $x$; - ветвь в III четверти симметрична ветви из I четверти относительно начала координат и проходит через точку $(-1; -1)$.