ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 1 - 8

8. Упростим и вычислим значение выражения по действиям: $$ (3^{0,5} - 5^{0,5})^2 : ((2 - 15^{0,25})(2 + 15^{0,25})) $$ 1) Преобразуем делимое, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (3^{0,5} - 5^{0,5})^2 = (3^{0,5})^2 - 2 \cdot 3^{0,5} \cdot 5^{0,5} + (5^{0,5})^2 $$ Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, получаем: $$ (3^{0,5})^2 = 3^{0,5 \cdot 2} = 3^1 = 3 $$ $$ (5^{0,5})^2 = 5^{0,5 \cdot 2} = 5^1 = 5 $$ $$ 3^{0,5} \cdot 5^{0,5} = (3 \cdot 5)^{0,5} = 15^{0,5} $$ Тогда: $$ (3^{0,5} - 5^{0,5})^2 = 3 - 2 \cdot 15^{0,5} + 5 = 8 - 2 \cdot 15^{0,5} = 2(4 - 15^{0,5}) $$ 2) Преобразуем делитель, применив формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ (2 - 15^{0,25})(2 + 15^{0,25}) = 2^2 - (15^{0,25})^2 $$ Так как $(15^{0,25})^2 = 15^{0,25 \cdot 2} = 15^{0,5}$, получаем: $$ 2^2 - (15^{0,25})^2 = 4 - 15^{0,5} $$ 3) Выполним деление: $$ \frac{2(4 - 15^{0,5})}{4 - 15^{0,5}} = 2 $$ Ответ: 2