ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 1 - 19

Решим уравнение: $$5\sqrt[5]{(a+2)^{-3}} = \frac{a+2}{\sqrt[3]{5}}$$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражение содержит степень с отрицательным показателем $(a+2)^{-3} = \frac{1}{(a+2)^3}$, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю: $$a + 2 \neq 0 \iff a \neq -2$$ Так как корень имеет нечётную степень (5-я степень), подкоренное выражение может принимать любые действительные знаки. --- **2. Преобразование и решение уравнения:** Возведём обе части уравнения в 15-ю степень (наименьшее общее кратное показателей корней $3$ и $5$). Так как показатель $15$ нечётный, это преобразование является равносильным на ОДЗ: $$\left(5\sqrt[5]{(a+2)^{-3}}\right)^{15} = \left(\frac{a+2}{\sqrt[3]{5}}\right)^{15}$$ Применяем свойства степеней и корней: $$5^{15} \cdot \left(\left(\sqrt[5]{(a+2)^{-3}}\right)^5\right)^3 = \frac{(a+2)^{15}}{\left(\left(\sqrt[3]{5}\right)^3\right)^5}$$ $$5^{15} \cdot \left((a+2)^{-3}\right)^3 = \frac{(a+2)^{15}}{5^5}$$ $$5^{15} \cdot (a+2)^{-9} = \frac{(a+2)^{15}}{5^5}$$ Умножим обе части уравнения на $5^5 \cdot (a+2)^9$: $$5^{15} \cdot 5^5 = (a+2)^{15} \cdot (a+2)^9$$ $$5^{20} = (a+2)^{24}$$ Извлечем корень чётной степени $24$ из обеих частей: $$|a+2| = \sqrt[24]{5^{20}} = 5^{\frac{20}{24}} = 5^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{5^5} = \sqrt[6]{3125}$$ Раскрываем модуль: $$a + 2 = \pm \sqrt[6]{3125}$$ $$a = -2 \pm \sqrt[6]{3125}$$ Оба найденных значения удовлетворяют условию $a \neq -2$. --- *Примечание:* если по школьной программе параграфа «Степень с рациональным показателем» выражение $\sqrt[5]{(a+2)^{-3}}$ изначально рассматривается как степень с дробным показателем $(a+2)^{-\frac{3}{5}}$, то по определению степени основание должно быть строго положительным ($a + 2 > 0$). В этом случае решением является только корень $a = -2 + \sqrt[6]{3125}$. --- Ответ: $a = -2 \pm \sqrt[6]{3125}$ (при условии $a + 2 > 0$: $a = -2 + \sqrt[6]{3125}$).