ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 15

Найдем область определения выражения. В дидактических материалах (Шабунин М. И. и др., 10 класс) данное задание представляет собой нахождение области определения корня четной степени $\sqrt[4]{-x^2 + 5x - 6}$ *(запись $4^{\sqrt{-x^2} + 5x - 6}$ возникает в результате типографической ошибки распознавания индекса корня)*. Ниже приведены решения для обоих возможных прочтений. --- ### Основной вариант: $\sqrt[4]{-x^2 + 5x - 6}$ Арифметический корень четной (четвертой) степени имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: $$-x^2 + 5x - 6 \ge 0$$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$x^2 - 5x + 6 \le 0$$ Найдем корни квадратного трехчлена с помощью теоремы Виета или через дискриминант: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ Разложим трехчлен на множители: $$(x - 2)(x - 3) \le 0$$ Решим неравенство методом интервалов: * функция $f(x) = (x - 2)(x - 3)$ обращается в нуль в точках $x = 2$ и $x = 3$; * знаки на промежутках: $+$ на $(-\infty; 2)$, $-$ на $[2; 3]$, $+$ на $(3; +\infty)$. Следовательно, неравенство выполняется при: $$x \in [2; 3]$$ **Ответ:** $x \in [2; 3]$ (или $2 \le x \le 3$). --- ### Вариант буквального прочтения: $4^{\sqrt{-x^2} + 5x - 6}$ Если выражение задано в виде показательного выражения с корнем в показателе: Показательное выражение $4^u$ определено при любых действительных значениях показателя $u$. Ограничение накладывает только квадратный корень $\sqrt{-x^2}$: $$-x^2 \ge 0$$ Умножим на $-1$: $$x^2 \le 0$$ Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), неравенство $x^2 \le 0$ возможно только в случае равенства нулю: $$x = 0$$ **Ответ:** $x = 0$.