ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 10

10. Значок $\boxed{5}$ перед номером выражения в дидактических материалах указывает на уровень сложности задания (задание повышенной сложности на оценку «5»). Упростим и вычислим значение выражения по действиям: $$(\sqrt[3]{32} \cdot 4\sqrt{22})^6 : \frac{3}{\sqrt[3]{8^2}}$$ **1. Преобразуем выражение внутри скобок, представив числа в виде степеней простых множителей:** * $\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = 2^{\frac{5}{3}}$; * $4 = 2^2$; * $\sqrt{22} = \sqrt{2 \cdot 11} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 11^{\frac{1}{2}}$. Перемножим множители с одинаковым основанием 2: $$\sqrt[3]{32} \cdot 4\sqrt{22} = 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 11^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{3} + 2 + \frac{1}{2}} \cdot 11^{\frac{1}{2}}$$ Сложим показатели степени: $$\frac{5}{3} + 2 + \frac{1}{2} = \frac{10}{6} + \frac{12}{6} + \frac{3}{6} = \frac{25}{6}$$ Таким образом: $$\sqrt[3]{32} \cdot 4\sqrt{22} = 2^{\frac{25}{6}} \cdot 11^{\frac{1}{2}}$$ **2. Возведем полученное произведение в 6-ю степень:** При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(2^{\frac{25}{6}} \cdot 11^{\frac{1}{2}})^6 = (2^{\frac{25}{6}})^6 \cdot (11^{\frac{1}{2}})^6 = 2^{\frac{25}{6} \cdot 6} \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 2^{25} \cdot 11^3$$ **3. Упростим делитель:** $$8^2 = (2^3)^2 = 2^6$$ $$\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4$$ Тогда делитель принимает вид: $$\frac{3}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{3}{4}$$ **4. Выполним деление:** Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь: $$(2^{25} \cdot 11^3) : \frac{3}{4} = 2^{25} \cdot 11^3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{2^{25} \cdot 2^2 \cdot 11^3}{3} = \frac{2^{27} \cdot 11^3}{3}$$ Так как $11^3 = 1331$, запишем результат: $$\frac{1331 \cdot 2^{27}}{3}$$ *(Примечание: если символ $\boxed{5}$ в условии рассматривается как числовой множитель $5$, результат умножается на $5$: $\frac{5 \cdot 1331 \cdot 2^{27}}{3} = \frac{6655 \cdot 2^{27}}{3}$.)* Ответ: $\frac{1331 \cdot 2^{27}}{3}$ (или $\frac{6655 \cdot 2^{27}}{3}$, если $\boxed{5}$ считается множителем).