ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 2 / вариант 1 - 9

Преобразуем каждое из выражений, выделив полный квадрат под знаком корня. 1. Упростим выражение $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$: $$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + 3 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$$ Тогда: $$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{3}| = \sqrt{5} + \sqrt{3}$$ 2. Упростим выражение $\sqrt{13 - 2\sqrt{30}}$: $$13 - 2\sqrt{30} = 10 - 2\sqrt{10}\cdot\sqrt{3} + 3 = (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{10} - \sqrt{3})^2$$ Так как $10 > 3$, то $\sqrt{10} > \sqrt{3}$, следовательно, разность $\sqrt{10} - \sqrt{3} > 0$: $$\sqrt{13 - 2\sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{10} - \sqrt{3}| = \sqrt{10} - \sqrt{3}$$ 3. Сравним полученные значения $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3}$. Составим разность или оценим обе части: $$\sqrt{5} + \sqrt{3} \quad \text{и} \quad \sqrt{10} - \sqrt{3}$$ Прибавим к обеим сравниваемым частям $\sqrt{3}$: $$\sqrt{5} + 2\sqrt{3} \quad \text{и} \quad \sqrt{10}$$ Обе части положительны, возведём их в квадрат: $$(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 5 + 4\sqrt{15} + 12 = 17 + 4\sqrt{15}$$ $$(\sqrt{10})^2 = 10$$ Так как $17 + 4\sqrt{15} > 10$, то: $$\sqrt{5} + 2\sqrt{3} > \sqrt{10}$$ Следовательно: $$\sqrt{5} + \sqrt{3} > \sqrt{10} - \sqrt{3}$$ Значит, и исходные выражения удовлетворяют этому же неравенству: $$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} > \sqrt{13 - 2\sqrt{30}}$$ Ответ: $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} > \sqrt{13 - 2\sqrt{30}}$.