ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 2 / вариант 1 - 7

7. 6) Упростим выражение $\sqrt{28 + 10\sqrt{3}}$. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы двух слагаемых: $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ Выделим удвоенное произведение: $$ 10\sqrt{3} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} $$ Пусть $a = 5$, а $b = \sqrt{3}$. Проверим сумму их квадратов: $$ a^2 + b^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 = 25 + 3 = 28 $$ Сумма квадратов совпадает с числом под корнем, следовательно: $$ 28 + 10\sqrt{3} = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (5 + \sqrt{3})^2 $$ Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $$ \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5 + \sqrt{3})^2} = |5 + \sqrt{3}| $$ Так как $5 + \sqrt{3} > 0$, знак модуля раскрывается без изменения знака: $$ |5 + \sqrt{3}| = 5 + \sqrt{3} $$ Ответ: $5 + \sqrt{3}$