ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 97

1) Вычислим значение выражения: $$ \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt[3]{2\frac{1}{4}} $$ Переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$: $$ \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2} = 1,5 $$ 2) Вычислим значение выражения: $$ \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{6\frac{3}{4}} $$ Переведем смешанную дробь в неправильную: $6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$. Применим свойство корня из произведения: $$ \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{\frac{27}{4}} = \sqrt[4]{\frac{3}{4} \cdot \frac{27}{4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} = 1,5 $$ 3) Вычислим значение выражения: $$ \sqrt[4]{\frac{15}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} $$ Применим свойство корня из частного $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b}$: $$ \sqrt[4]{\frac{15}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{15}{8} : \frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{15}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{75}{16}} = \frac{\sqrt[4]{75}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{\sqrt[4]{75}}{2} $$ *(Примечание: в учебнике Алимова в этом пункте опечатка в записи условия и приведена дробь $15\frac{5}{8}$; в этом случае решение имеет вид: $\sqrt[4]{15\frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}} = \sqrt[4]{\frac{125}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \frac{5}{2} = 2,5$)*. 4) Вычислим значение выражения: $$ \sqrt[3]{\frac{11}{4}} : \sqrt[3]{3\frac{1}{3}} $$ Переведем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$. Применим свойство корня из частного: $$ \sqrt[3]{\frac{11}{4}} : \sqrt[3]{\frac{10}{3}} = \sqrt[3]{\frac{11}{4} : \frac{10}{3}} = \sqrt[3]{\frac{11}{4} \cdot \frac{3}{10}} = \sqrt[3]{\frac{33}{40}} $$ *(Примечание: в учебнике Алимова в этом пункте опечатка в записи условия и приведена дробь $11\frac{1}{4}$; в этом случае решение имеет вид: $\sqrt[3]{11\frac{1}{4}} : \sqrt[3]{3\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{45}{4} \cdot \frac{3}{10}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1,5$)*. 5) Вычислим значение выражения: $$ \left( \sqrt[3]{\sqrt{27}} \right)^2 $$ Используем свойства корней $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$ и $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$: $$ \left( \sqrt[3]{\sqrt{27}} \right)^2 = \left( \sqrt[6]{27} \right)^2 = \sqrt[6]{27^2} $$ Представим $27$ как $3^3$: $$ \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^6} = 3 $$ 6) Вычислим значение выражения: $$ \left( \sqrt[3]{\sqrt{16}} \right)^3 $$ Перемножим показатели корней $\sqrt[3]{\sqrt{16}} = \sqrt[6]{16}$ и возведем в степень: $$ \left( \sqrt[6]{16} \right)^3 = \sqrt[6]{16^3} = 16^{\frac{3}{6}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 $$ Ответ: 1) $1,5$; 2) $1,5$; 3) $\frac{\sqrt[4]{75}}{2}$ (по учебнику: $2,5$); 4) $\sqrt[3]{\frac{33}{40}}$ (по учебнику: $1,5$); 5) $3$; 6) $4$.