ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 95

### Ответ 1) $35$; $6$; $2,5$ 2) $64$; $10$; $5$; $2$ 3) $\dfrac{1}{25}$ (или $0,04$); $\dfrac{1}{7}$; $11\dfrac{1}{9}$ (или $\dfrac{100}{9}$) *(Примечание: в оригинальном тексте учебника во втором выражении пункта 1 содержится смешанная дробь $15\dfrac{5}{8}$, во втором выражении пункта 2 — дробные степени $16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}$, а во втором выражении пункта 3 — показатель $\frac{7}{3}$, то есть $7^{\frac{7}{3}}$. Ниже приведены решения для стандартных условий учебника, а также вычисления по буквальной записи).* --- ### Подробное решение #### **Пункт 1** 1. **$\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3}$** Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и определение корня $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$): $$\sqrt[3]{5^3 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{7^3} = 5 \cdot 7 = 35$$ 2. **$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4}$** Объединяем множители под один корень четвёртой степени: $$\sqrt[4]{324} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{324 \cdot 4} = \sqrt[4]{1296}$$ Так как $6^4 = 1296$, получаем: $$\sqrt[4]{1296} = 6$$ 3. **$\sqrt[4]{15\dfrac{5}{8}} : \sqrt[4]{\dfrac{2}{5}}$** Переведём смешанную дробь в неправильную: $15\dfrac{5}{8} = \dfrac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \dfrac{125}{8}$. Объединяем деление под один знак корня: $$\sqrt[4]{\dfrac{125}{8}} : \sqrt[4]{\dfrac{2}{5}} = \sqrt[4]{\dfrac{125}{8} : \dfrac{2}{5}} = \sqrt[4]{\dfrac{125}{8} \cdot \dfrac{5}{2}} = \sqrt[4]{\dfrac{625}{16}} = \dfrac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{5}{2} = 2,5$$ *(Если брать буквально записанную дробь $\sqrt[4]{\frac{15}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{5}}$, то $\sqrt[4]{\frac{15}{8} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt[4]{\frac{75}{16}} = \frac{\sqrt[4]{75}}{2}$)*. --- #### **Пункт 2** 1. **$56^0 : 8^{-2}$** Любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$ ($a^0 = 1$), а число в отрицательной степени равно $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$: $$56^0 = 1, \quad 8^{-2} = \dfrac{1}{8^2} = \dfrac{1}{64}$$ $$56^0 : 8^{-2} = 1 : \dfrac{1}{64} = 1 \cdot 64 = 64$$ 2. **$16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}$** Представим числа через степени простых множителей ($16 = 2^4$, $25 = 5^2$): $$16^{\frac{1}{4}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} = \left(2^4\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(5^2\right)^{\frac{1}{2}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 \cdot 5^1 = 10$$ *(При буквальном вычислении $16^4 \cdot 25^2 = 65\,536 \cdot 625 = 40\,960\,000$)*. 3. **$\left(\dfrac{1}{15}\right)^{-1} : 9^{\frac{1}{2}}$** Учитываем, что $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}$, а степень $\frac{1}{2}$ — это квадратный корень: $$\left(\dfrac{1}{15}\right)^{-1} = 15, \quad 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$ $$15 : 3 = 5$$ 4. **$8^{\frac{1}{3}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 : 16^{-1}$** Вычислим каждый множитель: * $8^{\frac{1}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{1}{3}} = 2$ * $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16}$ * $16^{-1} = \dfrac{1}{16}$ Подставляем в выражение: $$2 \cdot \dfrac{1}{16} : \dfrac{1}{16} = \dfrac{2}{16} \cdot 16 = 2$$ --- #### **Пункт 3** Используем свойства степеней с одинаковым основанием: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ и $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$. 1. **$\dfrac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{1}{4}}}{5^2}$** Складываем показатели в числителе: $$\dfrac{5^{\frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)}}{5^2} = \dfrac{5^0}{5^2} = \dfrac{1}{25} = 0,04$$ 2. **$\dfrac{7^{\frac{7}{3}} \cdot 7^{-\frac{4}{3}}}{7^2}$** Складываем показатели в числителе: $$\dfrac{7^{\frac{7}{3} + \left(-\frac{4}{3}\right)}}{7^2} = \dfrac{7^{\frac{3}{3}}}{7^2} = \dfrac{7^1}{7^2} = 7^{1 - 2} = 7^{-1} = \dfrac{1}{7}$$ *(При буквальной записи $\dfrac{7^3 \cdot 7^{-\frac{4}{3}}}{7^2}$ получаем $7^{3 - \frac{4}{3} - 2} = 7^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{7}}$)*. 3. **$\dfrac{0,3^{0,3} \cdot 0,3^{-1}}{0,3^{1,3}}$** Применяем правила действий со степенями: $$0,3^{0,3 + (-1) - 1,3} = 0,3^{-0,7 - 1,3} = 0,3^{-2}$$ Перейдём к обыкновенной дроби: $$0,3^{-2} = \left(\dfrac{3}{10}\right)^{-2} = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9} = 11\dfrac{1}{9}$$