ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 853

1) $f(x) = e^{2x} \ln(2x - 1)$ Найдем область определения функции: $2x - 1 > 0 \implies x > 0{,}5$. Найдем точки, в которых значение функции равно 0: $$ e^{2x} \ln(2x - 1) = 0 $$ Так как $e^{2x} > 0$ при любых действительных $x$, получаем: $$ \ln(2x - 1) = 0 $$ $$ 2x - 1 = 1 $$ $$ 2x = 2 \implies x = 1 $$ Значение $x = 1$ принадлежит области определения ($1 > 0{,}5$). Найдем производную функции $f(x)$, применив правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (e^{2x})' \cdot \ln(2x - 1) + e^{2x} \cdot (\ln(2x - 1))' $$ Так как $(e^{2x})' = 2e^{2x}$, а $(\ln(2x - 1))' = \frac{1}{2x - 1} \cdot (2x - 1)' = \frac{2}{2x - 1}$, то: $$ f'(x) = 2e^{2x} \ln(2x - 1) + \frac{2e^{2x}}{2x - 1} $$ Вычислим значение производной в найденной точке $x = 1$: $$ f'(1) = 2e^{2 \cdot 1} \ln(2 \cdot 1 - 1) + \frac{2e^{2 \cdot 1}}{2 \cdot 1 - 1} = 2e^2 \ln 1 + \frac{2e^2}{1} = 2e^2 \cdot 0 + 2e^2 = 2e^2 $$ Ответ: $2e^2$. --- 2) $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x}$ Найдем область определения функции: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Найдем точки, в которых значение функции равно 0: $$ \frac{\sin x - \cos x}{\sin x} = 0 $$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \begin{cases} \sin x - \cos x = 0, \\ \sin x \neq 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения: $\sin x = \cos x$. Разделим обе части на $\cos x$ (так как $\cos x \neq 0$, иначе $\sin x = 0$, что противоречит условию $\sin x \neq 0$): $$ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найдем производную функции $f(x)$. Для этого предварительно упростим функцию: $$ f(x) = \frac{\sin x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = 1 - \operatorname{ctg} x $$ Дифференцируем: $$ f'(x) = (1 - \operatorname{ctg} x)' = 0 - \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \frac{1}{\sin^2 x} $$ Вычислим значение производной в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Подставим полученное значение в производную: $$ f'\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$ Ответ: $2$.