ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 850

Требуется найти производные заданных функций. 1) Найдем производную функции $y = \frac{e^x - e^{-x}}{x}$. Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{x}\right)' = \frac{(e^x - e^{-x})' \cdot x - (e^x - e^{-x}) \cdot (x)'}{x^2} $$ Найдем производную числителя, учитывая, что $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$: $$ (e^x - e^{-x})' = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x} $$ Так как $(x)' = 1$, подставим полученные выражения в формулу: $$ y' = \frac{(e^x + e^{-x})x - (e^x - e^{-x}) \cdot 1}{x^2} = \frac{x(e^x + e^{-x}) - e^x + e^{-x}}{x^2} $$ Ответ: $\frac{x(e^x + e^{-x}) - e^x + e^{-x}}{x^2}$. --- 2) Найдем производную функции $y = \frac{2^x - \log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$. Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{\ln 2}$ за знак производной: $$ y' = \frac{1}{\ln 2} \cdot \left(\frac{2^x - \log_2 x}{x}\right)' $$ Применим правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ \left(\frac{2^x - \log_2 x}{x}\right)' = \frac{(2^x - \log_2 x)' \cdot x - (2^x - \log_2 x) \cdot (x)'}{x^2} $$ Найдем производную выражения в скобках, используя табличные производные $(2^x)' = 2^x \ln 2$ и $(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$: $$ (2^x - \log_2 x)' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2} $$ Подставим ее в выражение: $$ \left(\frac{2^x - \log_2 x}{x}\right)' = \frac{\left(2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}\right) \cdot x - (2^x - \log_2 x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cdot 2^x \ln 2 - \frac{1}{\ln 2} - 2^x + \log_2 x}{x^2} $$ Умножим полученный результат на постоянный множитель $\frac{1}{\ln 2}$: $$ y' = \frac{x \cdot 2^x \ln 2 - 2^x + \log_2 x - \frac{1}{\ln 2}}{x^2 \ln 2} $$ Приведем числитель дроби к общему знаменателю $\ln 2$, учитывая, что $\log_2 x \cdot \ln 2 = \frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \ln 2 = \ln x$: $$ y' = \frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 \ln^2 2} $$ Ответ: $\frac{x \cdot 2^x \ln 2 - 2^x + \log_2 x - \frac{1}{\ln 2}}{x^2 \ln 2}$ (или $\frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 \ln^2 2}$).