ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 854

Дана функция $f(x) = x \sin 2x$. Требуется вычислить значение выражения $f'(x) + \frac{f(x)}{2} + 2$ при $x = \pi$. 1. Найдём значение функции в точке $x = \pi$: $$ f(\pi) = \pi \cdot \sin(2\pi) $$ Так как $\sin(2\pi) = 0$, получаем: $$ f(\pi) = \pi \cdot 0 = 0 $$ 2. Найдём производную функции $f(x)$, применив правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ и формулу производной сложной функции: $$ f'(x) = (x)' \cdot \sin 2x + x \cdot (\sin 2x)' $$ Так как $(x)' = 1$, а $(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2\cos 2x$, имеем: $$ f'(x) = \sin 2x + 2x \cos 2x $$ 3. Вычислим значение производной при $x = \pi$: $$ f'(\pi) = \sin(2\pi) + 2\pi \cos(2\pi) $$ Учитывая, что $\sin(2\pi) = 0$ и $\cos(2\pi) = 1$: $$ f'(\pi) = 0 + 2\pi \cdot 1 = 2\pi $$ 4. Подставим найденные значения $f(\pi)$ и $f'(\pi)$ в исходное выражение: $$ f'(\pi) + \frac{f(\pi)}{2} + 2 = 2\pi + \frac{0}{2} + 2 = 2\pi + 0 + 2 = 2\pi + 2 $$ Ответ: $2\pi + 2$ (или $2(\pi + 1)$).