ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 852

**1)** Дана функция: $$ f(x) = 5(\sin x - \cos x) + \sqrt{2}\cos 5x $$ Найдём производную функции $f'(x)$, используя правила дифференцирования суммы, константы и сложной функции: $$ f'(x) = 5(\cos x - (-\sin x)) + \sqrt{2}(-\sin 5x) \cdot (5x)' $$ $$ f'(x) = 5(\cos x + \sin x) - 5\sqrt{2}\sin 5x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 5(\cos x + \sin x) - 5\sqrt{2}\sin 5x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $5$: $$ \cos x + \sin x - \sqrt{2}\sin 5x = 0 $$ Преобразуем выражение $\cos x + \sin x$ с помощью метода вспомогательного угла: $$ \cos x + \sin x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}\sin 5x = 0 $$ Разделим на $\sqrt{2}$: $$ \sin 5x - \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 $$ Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ 2\sin\frac{5x - \left(x + \frac{\pi}{4}\right)}{2}\cos\frac{5x + \left(x + \frac{\pi}{4}\right)}{2} = 0 $$ $$ 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin\left(2x - \frac{\pi}{8}\right) = 0$ $$ 2x - \frac{\pi}{8} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{\pi}{8} + \pi k $$ $$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) = 0$ $$ 3x + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} + \pi n $$ $$ 3x = \frac{3\pi}{8} + \pi n $$ $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ к пункту 1: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Дана функция: $$ f(x) = 1 - 5\cos 2x + 2(\sin x - \cos x) - 2x $$ Найдём производную функции $f'(x)$: $$ f'(x) = 0 - 5(-\sin 2x) \cdot (2x)' + 2(\cos x - (-\sin x)) - 2 $$ $$ f'(x) = 10\sin 2x + 2(\sin x + \cos x) - 2 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 10\sin 2x + 2(\sin x + \cos x) - 2 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 5\sin 2x + (\sin x + \cos x) - 1 = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = \sin x + \cos x$. Возведём обе части замены в квадрат: $$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x $$ Отсюда выразим $\sin 2x$: $$ \sin 2x = t^2 - 1 $$ Подставим $t$ и $\sin 2x$ в уравнение: $$ 5(t^2 - 1) + t - 1 = 0 $$ $$ 5t^2 + t - 6 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5} = -1{,}2 $$ Так как $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$, область значений переменной $t$ равна $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Оба корня удовлетворяют этому условию, поскольку $\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1{,}2$. Вернёмся к обратной замене: 1) $\sin x + \cos x = 1$ $$ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 $$ $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Получаем две серии решений: - $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ - $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin x + \cos x = -\frac{6}{5}$ $$ \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{6}{5} $$ $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{6}{5\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{5} $$ $$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^m \arcsin\left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}\right) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{m+1}\arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{5}\right) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Ответ к пункту 2: $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{m+1}\arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{5}\right) + \pi m, \; m \in \mathbb{Z}$.