ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 847

Для нахождения производных данных функций применим правило дифференцирования сложной функции: $$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$ а также табличные формулы производных. 1) Пусть $y = 2^{\cos x + 1}$. Внешняя функция — показательная $a^u$, где $a = 2$, её производная равна $(a^u)' = a^u \ln a$. Внутренняя функция — $u(x) = \cos x + 1$. $$ y' = (2^{\cos x + 1})' = 2^{\cos x + 1} \cdot \ln 2 \cdot (\cos x + 1)' $$ Находим производную показателя: $$ (\cos x + 1)' = -\sin x + 0 = -\sin x $$ Подставляем: $$ y' = 2^{\cos x + 1} \cdot \ln 2 \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot 2^{\cos x + 1} \ln 2 $$ **Ответ:** $-\sin x \cdot 2^{\cos x + 1} \ln 2$. --- 2) Пусть $y = 0,5^{1 + \sin x}$. Используем формулу производной сложной показательной функции: $$ y' = (0,5^{1 + \sin x})' = 0,5^{1 + \sin x} \cdot \ln 0,5 \cdot (1 + \sin x)' $$ Находим производную внутренней функции: $$ (1 + \sin x)' = 0 + \cos x = \cos x $$ Получаем: $$ y' = 0,5^{1 + \sin x} \cdot \ln 0,5 \cdot \cos x = \cos x \cdot 0,5^{1 + \sin x} \ln 0,5 $$ **Ответ:** $\cos x \cdot 0,5^{1 + \sin x} \ln 0,5$. --- 3) Пусть $y = \cos \sqrt[3]{x + 2}$. Внешняя функция — косинус, $(\cos u)' = -\sin u$. Внутренняя функция — $u(x) = \sqrt[3]{x + 2} = (x + 2)^{\frac{1}{3}}$. $$ y' = (\cos \sqrt[3]{x + 2})' = -\sin \sqrt[3]{x + 2} \cdot \left((x + 2)^{\frac{1}{3}}\right)' $$ Дифференцируем внутреннюю функцию по правилу производной степенной функции: $$ \left((x + 2)^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}(x + 2)^{\frac{1}{3} - 1} \cdot (x + 2)' = \frac{1}{3}(x + 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 1 = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x + 2)^2}} $$ Объединяем: $$ y' = -\sin \sqrt[3]{x + 2} \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(x + 2)^2}} = -\frac{\sin \sqrt[3]{x + 2}}{3\sqrt[3]{(x + 2)^2}} $$ **Ответ:** $-\frac{\sin \sqrt[3]{x + 2}}{3\sqrt[3]{(x + 2)^2}}$. --- 4) Пусть $y = \sin (\ln x)$ при $x > 0$. Внешняя функция — синус, $(\sin u)' = \cos u$. Внутренняя функция — $u(x) = \ln x$, её производная $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. $$ y' = (\sin (\ln x))' = \cos (\ln x) \cdot (\ln x)' $$ $$ y' = \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos (\ln x)}{x} $$ **Ответ:** $\frac{\cos (\ln x)}{x}$.