ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 70

### Ответ 1) $2$ 2) $9$ 3) $3$ 4) $8$ --- ### Подробное решение Для вычисления значений выражений воспользуемся основными свойствами степеней с действительными показателями: 1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$. 2. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. --- #### 1) $2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 4^{\sqrt{2}}$ 1. Представим основание $4$ как степень двойки: $4 = 2^2$. 2. Преобразуем второй множитель: $$4^{\sqrt{2}} = (2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}}$$ 3. Выполним умножение степеней с одинаковым основанием $2$: $$2^{1-2\sqrt{2}} \cdot 2^{2\sqrt{2}} = 2^{1 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}} = 2^1 = 2$$ --- #### 2) $3^{2-3\sqrt{3}} \cdot 27^{\sqrt{3}}$ 1. Представим число $27$ как степень тройки: $27 = 3^3$. 2. Преобразуем второй множитель: $$27^{\sqrt{3}} = (3^3)^{\sqrt{3}} = 3^{3\sqrt{3}}$$ 3. Сложим показатели степеней: $$3^{2-3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}} = 3^{2 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} = 3^2 = 9$$ --- #### 3) $9^{1+\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 3^{-2-\sqrt{3}}$ 1. Приведем первый множитель к основанию $3$, так как $9 = 3^2$: $$9^{1+\sqrt{3}} = (3^2)^{1+\sqrt{3}} = 3^{2(1+\sqrt{3})} = 3^{2 + 2\sqrt{3}}$$ 2. Перемножим все три степени с основанием $3$, сложив их показатели: $$3^{2+2\sqrt{3}} \cdot 3^{1-\sqrt{3}} \cdot 3^{-2-\sqrt{3}} = 3^{(2 + 2\sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) + (-2 - \sqrt{3})}$$ 3. Упростим показатель степени: $$(2 + 1 - 2) + (2\sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3}) = 1 + 0 = 1$$ 4. Получаем: $$3^1 = 3$$ --- #### 4) $4^{3+\sqrt{2}} \cdot 2^{1-\sqrt{2}} \cdot 2^{-4-\sqrt{2}}$ 1. Приведем первый множитель к основанию $2$, так как $4 = 2^2$: $$4^{3+\sqrt{2}} = (2^2)^{3+\sqrt{2}} = 2^{2(3+\sqrt{2})} = 2^{6 + 2\sqrt{2}}$$ 2. Перемножим степени с одинаковым основанием $2$: $$2^{6+2\sqrt{2}} \cdot 2^{1-\sqrt{2}} \cdot 2^{-4-\sqrt{2}} = 2^{(6 + 2\sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) + (-4 - \sqrt{2})}$$ 3. Сложим слагаемые в показателе: $$(6 + 1 - 4) + (2\sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2}) = 3 + 0 = 3$$ 4. Вычислим итоговое значение: $$2^3 = 8$$