ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 67

Упростим заданное выражение по действиям: $$ \frac{\frac{3}{c^2} - \frac{1}{cb^2}}{\frac{1}{c^2} + b^2} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} $$ 1. Преобразуем первую (многоэтажную) дробь: Приведем числитель к общему знаменателю $c^2 b^2$: $$ \frac{3}{c^2} - \frac{1}{cb^2} = \frac{3b^2 - c}{c^2 b^2} $$ Приведем знаменатель к общему знаменателю $c^2$: $$ \frac{1}{c^2} + b^2 = \frac{1 + b^2 c^2}{c^2} $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{\frac{3b^2 - c}{c^2 b^2}}{\frac{1 + b^2 c^2}{c^2}} = \frac{3b^2 - c}{c^2 b^2} \cdot \frac{c^2}{1 + b^2 c^2} = \frac{3b^2 - c}{b^2(1 + b^2 c^2)} $$ 2. Преобразуем второе слагаемое, вынеся общий множитель $2c$ в числителе: $$ \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{2c(c - 2b)}{c - b} $$ 3. Сложим полученные выражения, приведя их к общему знаменателю $b^2(1 + b^2 c^2)(c - b)$: $$ \frac{3b^2 - c}{b^2(1 + b^2 c^2)} + \frac{2c(c - 2b)}{c - b} = \frac{(3b^2 - c)(c - b) + 2c(c - 2b)b^2(1 + b^2 c^2)}{b^2(1 + b^2 c^2)(c - b)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (3b^2 - c)(c - b) = 3b^2 c - 3b^3 - c^2 + bc $$ $$ 2c(c - 2b)b^2(1 + b^2 c^2) = (2c^2 b^2 - 4cb^3)(1 + b^2 c^2) = 2c^2 b^2 + 2c^4 b^4 - 4cb^3 - 4c^3 b^5 $$ Сгруппируем слагаемые в числителе: $$ 2c^4 b^4 - 4c^3 b^5 + 2c^2 b^2 - 4cb^3 + 3b^2 c - 3b^3 - c^2 + bc $$ Ответ: $\frac{3b^2 - c}{b^2(1 + b^2 c^2)} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b}$ (или в виде единой дроби $\frac{2c^4 b^4 - 4c^3 b^5 + 2c^2 b^2 - 4cb^3 + 3b^2 c - 3b^3 - c^2 + bc}{b^2(1 + b^2 c^2)(c - b)}$). --- *Примечание.* В учебнике Ш. А. Алимова («Алгебра и начала математического анализа 10–11 класс») в задании № 67 содержится опечатка распознавания степеней, и исходное выражение имеет вид: $$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}}} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} $$ Его упрощение выполняется следующим образом: 1. Изменим знак в знаменателе второй дроби: $b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}} = -(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$, тогда: $$ \frac{c^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + \frac{cb^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{c^{\frac{3}{2}}(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + cb^{\frac{1}{2}}(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{(c^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $$ 2. Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{c^2 - c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + cb}{c - b} = \frac{c^2 + cb}{c - b} $$ 3. Сложим с третьей дробью: $$ \frac{c^2 + cb}{c - b} + \frac{2c^2 - 4cb}{c - b} = \frac{3c^2 - 3cb}{c - b} = \frac{3c(c - b)}{c - b} = 3c $$ Ответ для исходного выражения учебника: $3c$.