ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 69

### Ответ 1) $4$ 2) $3$ 3) $\dfrac{1}{5}$ (или $0{,}2$) 4) $-\dfrac{624}{625}$ (или $-0{,}9984$) --- ### Подробное решение Для вычислений используются основные свойства степеней с действительными показателями: * $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ * $a^m : a^n = a^{m-n}$ * $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ * $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$) * $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ * Формула разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ --- #### 1) $2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}$ 1. Представим число $8$ как степень с основанием $2$: $$8^{\sqrt{5}} = (2^3)^{\sqrt{5}} = 2^{3\sqrt{5}}$$ 2. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $$2^{2-3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}} = 2^{(2-3\sqrt{5}) + 3\sqrt{5}} = 2^2 = 4$$ --- #### 2) $3^{1+2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}}$ 1. Представим число $9$ как степень с основанием $3$: $$9^{\sqrt[3]{2}} = (3^2)^{\sqrt[3]{2}} = 3^{2\sqrt[3]{2}}$$ 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель делителя вычитается из показателя делимого: $$3^{1+2\sqrt[3]{2}} : 3^{2\sqrt[3]{2}} = 3^{(1+2\sqrt[3]{2}) - 2\sqrt[3]{2}} = 3^1 = 3$$ --- #### 3) $(5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$ 1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}} = 5^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$$ 2. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$$ 3. Вычислим значение: $$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$ --- #### 4) $(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} - (\sqrt{5})^0$ 1. Упростим первое слагаемое, перемножив показатели степеней по формуле разности квадратов: $$(5^{1-\sqrt{5}})^{1+\sqrt{5}} = 5^{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})} = 5^{1^2 - (\sqrt{5})^2} = 5^{1 - 5} = 5^{-4}$$ 2. Второе слагаемое — любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $$(\sqrt{5})^0 = 1$$ 3. Выполним вычитание: $$5^{-4} - 1 = \frac{1}{5^4} - 1 = \frac{1}{625} - 1 = \frac{1 - 625}{625} = -\frac{624}{625} = -0{,}9984$$