ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 64

### Ответ 1) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = \left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right)$ 2) $y^{\frac{2}{3}} - 1 = \left(y^{\frac{1}{3}} + 1\right)\left(y^{\frac{1}{3}} - 1\right)$ 3) $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = \left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}\right)$ 4) $x - y = \left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}\right) \quad \text{или} \quad (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ 5) $4a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = \left(2a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)\left(2a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right)$ 6) $0,01m^6 - n^{\frac{1}{6}} = \left(0,1m^3 + n^{\frac{1}{12}}\right)\left(0,1m^3 - n^{\frac{1}{12}}\right)$ --- ### Объяснение и пошаговое решение Для разложения выражений на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$$ При работе со степенями используется свойство возведения степени в степень: $(x^p)^2 = x^{2p}$, то есть показатель степени делится на 2: $p = \frac{2p}{2}$. 1) Представим каждое слагаемое в виде квадрата: $$a^{\frac{1}{2}} = \left(a^{\frac{1}{4}}\right)^2, \quad b^{\frac{1}{2}} = \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^2$$ Применяем формулу: $$a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = \left(a^{\frac{1}{4}}\right)^2 - \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right)$$ 2) Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов: $$y^{\frac{2}{3}} = \left(y^{\frac{1}{3}}\right)^2, \quad 1 = 1^2$$ Применяем формулу: $$y^{\frac{2}{3}} - 1 = \left(y^{\frac{1}{3}}\right)^2 - 1^2 = \left(y^{\frac{1}{3}} + 1\right)\left(y^{\frac{1}{3}} - 1\right)$$ 3) Представим показатели в виде квадратов: $$a^{\frac{1}{3}} = \left(a^{\frac{1}{6}}\right)^2, \quad b^{\frac{1}{3}} = \left(b^{\frac{1}{6}}\right)^2 \quad \left(\text{так как } \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\right)$$ Применяем формулу: $$a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = \left(a^{\frac{1}{6}}\right)^2 - \left(b^{\frac{1}{6}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right)\left(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}\right)$$ 4) Представим переменные в первой степени как квадраты выражений со степенью $\frac{1}{2}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$): $$x = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2, \quad y = \left(y^{\frac{1}{2}}\right)^2$$ Применяем формулу: $$x - y = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 - \left(y^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}\right)$$ 5) Учитывая, что $4 = 2^2$, запишем уменьшаемое и вычитаемое в виде квадратов: $$4a^{\frac{1}{2}} = \left(2a^{\frac{1}{4}}\right)^2, \quad b^{\frac{1}{2}} = \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^2$$ Применяем формулу: $$4a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = \left(2a^{\frac{1}{4}}\right)^2 - \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(2a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)\left(2a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right)$$ 6) Учитывая, что $0,01 = 0,1^2$ и $m^6 = (m^3)^2$, а также $n^{\frac{1}{6}} = \left(n^{\frac{1}{12}}\right)^2$: $$0,01m^6 = \left(0,1m^3\right)^2, \quad n^{\frac{1}{6}} = \left(n^{\frac{1}{12}}\right)^2$$ Применяем формулу: $$0,01m^6 - n^{\frac{1}{6}} = \left(0,1m^3\right)^2 - \left(n^{\frac{1}{12}}\right)^2 = \left(0,1m^3 + n^{\frac{1}{12}}\right)\left(0,1m^3 - n^{\frac{1}{12}}\right)$$