ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 536

Пусть дан произвольный угол $\alpha$. Докажем, что вычисление $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$ сводится к вычислению значений этих функций от некоторого угла, принадлежащего промежутку $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$. **1. Сведение произвольного угла к углу из промежутка $[0; 2\pi)$** Используя свойство периодичности тригонометрических функций с периодом $2\pi$, любой угол $\alpha$ можно представить в виде: $$ \alpha = \alpha_0 + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}, \quad \alpha_0 \in [0; 2\pi) $$ Тогда: $$ \sin \alpha = \sin \alpha_0, \quad \cos \alpha = \cos \alpha_0, \quad \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha_0 $$ Таким образом, достаточно рассматривать угол $\alpha_0 \in [0; 2\pi)$. --- **2. Сведение угла из промежутка $[0; 2\pi)$ к углу из промежутка $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$** Рассмотрим положение угла $\alpha_0$ по четвертям единичной окружности: 1) Если $\alpha_0 \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ (I четверть), то угол уже принадлежит данному промежутку: полагаем $\beta = \alpha_0$. 2) Если $\alpha_0 \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ (II четверть), то представим $\alpha_0 = \pi - \beta$, где $\beta = \pi - \alpha_0 \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right)$. По формулам приведения: $$ \sin \alpha_0 = \sin(\pi - \beta) = \sin \beta $$ $$ \cos \alpha_0 = \cos(\pi - \beta) = -\cos \beta $$ $$ \operatorname{tg} \alpha_0 = \operatorname{tg}(\pi - \beta) = -\operatorname{tg} \beta $$ 3) Если $\alpha_0 \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$ (III четверть), то представим $\alpha_0 = \pi + \beta$, где $\beta = \alpha_0 - \pi \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right]$. По формулам приведения: $$ \sin \alpha_0 = \sin(\pi + \beta) = -\sin \beta $$ $$ \cos \alpha_0 = \cos(\pi + \beta) = -\cos \beta $$ $$ \operatorname{tg} \alpha_0 = \operatorname{tg}(\pi + \beta) = \operatorname{tg} \beta $$ 4) Если $\alpha_0 \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ (IV четверть), то представим $\alpha_0 = 2\pi - \beta$, где $\beta = 2\pi - \alpha_0 \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. По формулам приведения: $$ \sin \alpha_0 = \sin(2\pi - \beta) = -\sin \beta $$ $$ \cos \alpha_0 = \cos(2\pi - \beta) = \cos \beta $$ $$ \operatorname{tg} \alpha_0 = \operatorname{tg}(2\pi - \beta) = -\operatorname{tg} \beta $$ Следовательно, значения синуса, косинуса и тангенса любого угла с точностью до знака равны значениям тех же функций для некоторого угла $\beta \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$. --- **3. Сведение угла из промежутка $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ к углу из промежутка $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$** Пусть $\beta \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$: 1) Если $\beta \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, то требуемый угол уже получен: полагаем $\gamma = \beta$. 2) Если $\beta \in \left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$, то запишем $\beta = \frac{\pi}{2} - \gamma$, где $\gamma = \frac{\pi}{2} - \beta \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right)$. По формулам приведения: $$ \sin \beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \cos \gamma $$ $$ \cos \beta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \sin \gamma $$ $$ \operatorname{tg} \beta = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \operatorname{ctg} \gamma = \frac{1}{\operatorname{tg} \gamma} \quad (\text{при } \gamma \neq 0) $$ Таким образом, вычисление значений синуса, косинуса и тангенса угла $\beta$ сводится к вычислению значений этих же функций для угла $\gamma \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$. --- **Вывод:** Последовательно применяя периодичность функций и формулы приведения, вычисление $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$ для любого угла $\alpha$ всегда можно свести к вычислению значений синуса, косинуса и тангенса некоторого угла из промежутка $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$. Что и требовалось доказать.