ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 538

1) Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ \cos 105^\circ + \cos 75^\circ = 2 \cos \frac{105^\circ + 75^\circ}{2} \cos \frac{105^\circ - 75^\circ}{2} = 2 \cos 90^\circ \cos 15^\circ $$ Так как $\cos 90^\circ = 0$, получаем: $$ 2 \cdot 0 \cdot \cos 15^\circ = 0 $$ 2) Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ \sin 105^\circ - \sin 75^\circ = 2 \sin \frac{105^\circ - 75^\circ}{2} \cos \frac{105^\circ + 75^\circ}{2} = 2 \sin 15^\circ \cos 90^\circ $$ Так как $\cos 90^\circ = 0$, получаем: $$ 2 \sin 15^\circ \cdot 0 = 0 $$ 3) Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} = 2 \cos \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} $$ Упростим аргументы: $$ \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{16\pi}{12}}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $$ $$ \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{4} $$ Подставим табличные значения $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 4) Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ \cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} = -2 \sin \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{2\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} $$ Подставим табличные значения $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} $$ 5) Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} $$ Упростим аргументы: $$ \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{4} $$ $$ \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{3} $$ Подставим табличные значения $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$: $$ 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 6) Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ \sin 105^\circ + \sin 165^\circ = 2 \sin \frac{105^\circ + 165^\circ}{2} \cos \frac{105^\circ - 165^\circ}{2} = 2 \sin 135^\circ \cos (-30^\circ) $$ Так как косинус — чётная функция, то $\cos(-30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По формуле приведения $\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения: $$ 2 \sin 135^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$ Ответ: 1) $0$; 2) $0$; 3) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; 4) $-\frac{\sqrt{6}}{2}$; 5) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 6) $\frac{\sqrt{6}}{2}$.