ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 533

**1)** Докажем тождество: $$ \sin\left(\frac{7\pi}{6} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $$ Преобразуем аргумент в левой части равенства, выделив слагаемое $\pi$: $$ \frac{7\pi}{6} + \alpha = \pi + \frac{\pi}{6} + \alpha = \pi + \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $$ Применим формулу приведения $\sin(\pi + x) = -\sin x$: $$ \sin\left(\frac{7\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\left(\pi + \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $$ Левая часть равна правой части, тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \sin\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right) $$ Представим аргумент в левой части через угол $2\pi$: $$ \frac{5\pi}{4} + \alpha = 2\pi - \frac{3\pi}{4} + \alpha = 2\pi - \left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right) $$ Используем формулу приведения $\sin(2\pi - x) = -\sin x$: $$ \sin\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\left(2\pi - \left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right)\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right) $$ Левая часть равна правой части, тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество: $$ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $$ Воспользуемся четностью функции косинуса $\cos(-x) = \cos x$: $$ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) $$ Представим угол $\frac{2\pi}{3} - \alpha$ в виде разности $\pi - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$: $$ \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\pi - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) $$ По формуле приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$ получаем: $$ \cos\left(\pi - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $$ Левая часть равна правой части, тождество доказано. --- **4)** Докажем тождество: $$ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) $$ Используем свойство периодичности косинуса с периодом $2\pi$, то есть $\cos x = \cos(x + 2\pi)$: $$ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3} + 2\pi\right) $$ Приведем слагаемые в аргументе к общему знаменателю: $$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $$ Следовательно: $$ \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3} + 2\pi\right) = \cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) $$ Левая часть равна правой части, тождество доказано.