ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 508

1) Докажем тождество $\sin 2\alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1$. Преобразуем правую часть равенства, применив формулу квадрата суммы: $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 1 $$ Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, а также формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha - 1 = 1 + \sin 2\alpha - 1 = \sin 2\alpha $$ Получили выражение, совпадающее с левой частью: $$ \sin 2\alpha = \sin 2\alpha $$ Тождество доказано. 2) Докажем тождество $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha$. Преобразуем левую часть равенства, раскрыв квадрат разности: $$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $$ Используем тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - \sin 2\alpha $$ Левая часть равна правой части: $$ 1 - \sin 2\alpha = 1 - \sin 2\alpha $$ Тождество доказано. 3) Докажем тождество $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha$. Преобразуем левую часть равенства, разложив её как разность квадратов: $$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$: $$ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha $$ Левая часть равна правой части: $$ \cos 2\alpha = \cos 2\alpha $$ Тождество доказано. 4) Докажем тождество $2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1$. Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$: $$ 2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - (2\cos^2 \alpha - 1) $$ Раскроем скобки: $$ 2\cos^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha + 1 = 1 $$ Левая часть равна правой части: $$ 1 = 1 $$ Тождество доказано.