ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 510

1) Докажем тождество: $$ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha - 1 $$ Преобразуем левую часть тождества. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ и разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель $\sin \alpha$ за скобки: $$ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)} $$ Сократим дробь на $(\cos \alpha + \sin \alpha)$: $$ \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha - 1 $$ Получили выражение, равное правой части: $\operatorname{ctg} \alpha - 1 = \operatorname{ctg} \alpha - 1$. Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{\sin 2\alpha - 2 \cos \alpha}{\sin \alpha - \sin^2 \alpha} = -2 \operatorname{ctg} \alpha $$ Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ и разложим числитель и знаменатель на множители: $$ \frac{\sin 2\alpha - 2 \cos \alpha}{\sin \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \cos \alpha}{\sin \alpha (1 - \sin \alpha)} = \frac{2 \cos \alpha (\sin \alpha - 1)}{\sin \alpha (1 - \sin \alpha)} $$ Так как $\sin \alpha - 1 = -(1 - \sin \alpha)$, вынесем знак минус: $$ \frac{-2 \cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{\sin \alpha (1 - \sin \alpha)} = -\frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} = -2 \operatorname{ctg} \alpha $$ Получили выражение, равное правой части: $-2 \operatorname{ctg} \alpha = -2 \operatorname{ctg} \alpha$. Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ \operatorname{tg} \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha $$ Преобразуем левую часть тождества. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$, откуда $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$, и определением тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ \operatorname{tg} \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot 2 \cos^2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$ По формуле синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$ \sin 2\alpha = \sin 2\alpha $$ Тождество доказано. --- 4) Докажем тождество: $$ \frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 $$ Преобразуем выражение в левой части. Применим формулы понижения степени и двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$, $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$ и $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$: $$ \frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha} $$ Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $$ \frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Подставим полученную дробь обратно в левую часть и запишем $\operatorname{ctg} \alpha$ как $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1 $$ Получили выражение, равное правой части: $1 = 1$. Тождество доказано. --- 5) Докажем тождество: $$ \frac{(1 - 2 \cos^2 \alpha) (2 \sin^2 \alpha - 1)}{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 2\alpha $$ Преобразуем числитель левой части с помощью формулы косинуса двойного угла: - $1 - 2 \cos^2 \alpha = -(2 \cos^2 \alpha - 1) = -\cos 2\alpha$; - $2 \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - 2 \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$. Знаменатель свернем по формуле синуса двойного угла: $$ 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = \sin^2 2\alpha $$ Подставим эти выражения в левую часть: $$ \frac{(-\cos 2\alpha) \cdot (-\cos 2\alpha)}{\sin^2 2\alpha} = \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} = \operatorname{ctg}^2 2\alpha $$ Получили выражение, равное правой части: $\operatorname{ctg}^2 2\alpha = \operatorname{ctg}^2 2\alpha$. Тождество доказано. --- 6) Докажем тождество: $$ 1 - 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right) = \sin \alpha $$ Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x$, где $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$: $$ 1 - 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right) = \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right) \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) $$ По формуле приведения $\cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha$: $$ \sin \alpha = \sin \alpha $$ Тождество доказано. --- 7) Докажем тождество: $$ \frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha $$ Преобразуем левую часть. В числителе применим формулу $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, а в знаменателе сгруппируем слагаемые и используем формулу $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$: $$ \frac{\sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{(1 + \cos 2\alpha) + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)}{2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha} $$ Вынесем $\cos \alpha$ за скобки в знаменателе: $$ \frac{\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)}{\cos \alpha (2 \cos \alpha + 1)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2 \cos \alpha)$: $$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha $$ Получили выражение, равное правой части: $\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha$. Тождество доказано.