ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 511

Докажем тождество: $$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1 + \cot \alpha)} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \tan \alpha)} = \frac{2\sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}{\sin 2\alpha}. $$ Преобразуем отдельно левую и правую части тождества. **1. Преобразование левой части:** Используем определения котангенса и тангенса: $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Выражения в скобках приведём к общему знаменателю: $$ 1 + \cot \alpha = 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}, $$ $$ 1 + \tan \alpha = 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}. $$ Подставим полученные выражения в знаменатели дробей левой части: $$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} - \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}. $$ Приведём дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)$: $$ \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}. $$ Разложим числитель по формуле разности квадратов: $$ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha). $$ Так как по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, а $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)$, получаем: $$ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot 1}{\sin \alpha \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}. $$ **2. Преобразование правой части:** Применим формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $$ \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha - \cos \alpha). $$ Используем формулу синуса двойного угла в знаменателе: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Подставим эти выражения в правую часть: $$ \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 (\sin \alpha - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}. $$ **Вывод:** В результате преобразований получили, что левая часть равна правой: $$ \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}. $$ Тождество доказано.