ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 42

1) Используем свойства корня из степени и степени с рациональным показателем: $$ \left(\sqrt[6]{7^3}\right)^2 = \left(7^{\frac{3}{6}}\right)^2 = \left(7^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^1 = 7 $$ Ответ: $7$. 2) Представим подкоренное выражение в виде степени и применим свойства степеней: $$ \left(\sqrt[6]{9}\right)^{-3} = \left(9^{\frac{1}{6}}\right)^{-3} = 9^{\frac{1}{6} \cdot (-3)} = 9^{-\frac{3}{6}} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\frac{1}{3}$. 3) Запишем число $32$ как $2^5$ и упростим показатель степени: $$ \left(\sqrt[10]{32}\right)^2 = \left(\sqrt[10]{2^5}\right)^2 = \left(2^{\frac{5}{10}}\right)^2 = \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^1 = 2 $$ Ответ: $2$. 4) Представим число $16$ как $4^2$ (или $2^4$) и вычислим степень: $$ \left(\sqrt[8]{16}\right)^{-4} = \left(16^{\frac{1}{8}}\right)^{-4} = 16^{\frac{1}{8} \cdot (-4)} = 16^{-\frac{4}{8}} = 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} $$ Ответ: $\frac{1}{4}$.