ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 44

1) Используем свойство степени корня $(\sqrt[n]{a})^m = a^{\frac{m}{n}}$: $$ (\sqrt[3]{x})^6 = x^{\frac{6}{3}} = x^2 $$ 2) По определению арифметического корня $(\sqrt[n]{a})^n = a$: $$ (\sqrt[3]{y^2})^3 = y^2 $$ 3) Применяем правило возведения произведения в степень $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$: $$ (\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b})^6 = (\sqrt{a})^6 \cdot (\sqrt[3]{b})^6 = a^{\frac{6}{2}} \cdot b^{\frac{6}{3}} = a^3 b^2 $$ 4) Возводим каждый множитель в 12-ю степень: $$ (\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3})^{12} = (\sqrt[3]{a^2})^{12} \cdot (\sqrt[4]{b^3})^{12} = a^{\frac{2 \cdot 12}{3}} \cdot b^{\frac{3 \cdot 12}{4}} = a^{\frac{24}{3}} \cdot b^{\frac{36}{4}} = a^8 b^9 $$ 5) Используем свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{A}} = \sqrt[n \cdot k]{A}$: $$ \left( \sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2 b}} \right)^6 = \left( \sqrt[9]{a^2 b} \right)^6 = (a^2 b)^{\frac{6}{9}} = (a^2 b)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(a^2 b)^2} = \sqrt[3]{a^4 b^2} = a\sqrt[3]{a b^2} $$ *(Примечание: если во внешнем радикале подразумевался квадратный корень, то есть $\left( \sqrt{\sqrt[3]{a^2 b}} \right)^6$, то решение выглядит так: $\left( \sqrt[6]{a^2 b} \right)^6 = a^2 b$)*. 6) Перемножаем показатели корней $\sqrt[3]{\sqrt[4]{27 a^3}} = \sqrt[12]{27 a^3}$ и возводим в степень: $$ \left( \sqrt[3]{\sqrt[4]{27 a^3}} \right)^4 = \left( \sqrt[12]{27 a^3} \right)^4 = (27 a^3)^{\frac{4}{12}} = (27 a^3)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27 a^3} = \sqrt[3]{3^3 a^3} = 3a $$