ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 41

При решении используем свойство корня $n$-й степени из частного (дроби): для корней одинаковой степени частное корней равно корню из частного подкоренных выражений, то есть $\sqrt[n]{A} : \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{\frac{A}{B}}$ (при допустимых значениях переменных). 1) Объединим под один корень пятой степени и сократим дробь: $$ \sqrt[5]{a^6 b^7} : \sqrt[5]{ab^2} = \sqrt[5]{\frac{a^6 b^7}{ab^2}} = \sqrt[5]{a^{6-1} b^{7-2}} = \sqrt[5]{a^5 b^5} = ab $$ **Ответ:** $ab$ 2) Объединим под один кубический корень и сократим дробь: $$ \sqrt[3]{81x^4y} : \sqrt[3]{3xy} = \sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}} = \sqrt[3]{27x^{4-1}y^{1-1}} = \sqrt[3]{27x^3} = 3x $$ **Ответ:** $3x$ 3) Запишем под одним кубическим корнем, заменив деление дробей умножением на взаимно обратную дробь: $$ \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} : \frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2} \cdot \frac{9x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}} = \frac{3x}{y} $$ **Ответ:** $\frac{3x}{y}$ 4) Запишем под одним корнем четвёртой степени и выполним деление дробей: $$ \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} : \frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3} \cdot \frac{8b^3}{a}} = \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} $$ Так как подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, переменные $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (то есть $\frac{b}{a} > 0$), следовательно: $$ \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} = \frac{2|b|}{|a|} = \frac{2b}{a} $$ **Ответ:** $\frac{2b}{a}$