ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 415

Для решения задачи используются формулы, связывающие величину центрального угла в градусах $\alpha^\circ$ и в радианах $\alpha$, радиус окружности $R$, длину дуги сектора $l$ и площадь сектора $S$: 1. Перевод угла из градусов в радианы и наоборот: $$\alpha = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ}, \quad \alpha^\circ = \frac{\alpha \cdot 180^\circ}{\pi}$$ 2. Длина дуги: $$l = \alpha R$$ 3. Площадь кругового сектора: $$S = \frac{1}{2}\alpha R^2 = \frac{1}{2}l R$$ Выполним вычисления для каждого столбца таблицы: ### 1-й столбец Дано: $\alpha^\circ = 30^\circ$, $R = 2\text{ см}$. 1. Переведём угол в радианы: $$\alpha = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}\text{ рад}$$ 2. Найдем длину дуги: $$l = \alpha R = \frac{\pi}{6} \cdot 2 = \frac{\pi}{3}\text{ см}$$ 3. Найдем площадь сектора: $$S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{\pi}{3}\text{ см}^2$$ --- ### 2-й столбец Дано: $\alpha = \frac{\pi}{5}\text{ рад}$, $l = 2\text{ см}$. 1. Переведём угол в градусы: $$\alpha^\circ = \frac{\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 36^\circ$$ 2. Найдем радиус окружности: $$R = \frac{l}{\alpha} = \frac{2}{\frac{\pi}{5}} = \frac{10}{\pi}\text{ см}$$ 3. Найдем площадь сектора: $$S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{10}{\pi} = \frac{10}{\pi}\text{ см}^2$$ --- ### 3-й столбец Дано: $R = 10\text{ см}$, $l = 5\text{ см}$. 1. Найдем угол в радианах: $$\alpha = \frac{l}{R} = \frac{5}{10} = 0{,}5\text{ рад}$$ 2. Переведём угол в градусы: $$\alpha^\circ = 0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \left(\frac{90}{\pi}\right)^\circ \approx 28{,}65^\circ$$ 3. Найдем площадь сектора: $$S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25\text{ см}^2$$ --- ### 4-й столбец Дано: $R = 5\text{ см}$, $S = 50\text{ см}^2$. 1. Из формулы $S = \frac{1}{2}l R$ выразим и найдем длину дуги: $$l = \frac{2S}{R} = \frac{2 \cdot 50}{5} = 20\text{ см}$$ 2. Найдем угол в радианах: $$\alpha = \frac{l}{R} = \frac{20}{5} = 4\text{ рад}$$ 3. Переведём угол в градусы: $$\alpha^\circ = 4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \left(\frac{720}{\pi}\right)^\circ \approx 229{,}18^\circ$$ --- ### 5-й столбец Дано: $\alpha = 2\text{ рад}$, $S = 25\text{ см}^2$. 1. Из формулы $S = \frac{1}{2}\alpha R^2$ выразим радиус: $$R^2 = \frac{2S}{\alpha} = \frac{2 \cdot 25}{2} = 25 \implies R = 5\text{ см}$$ 2. Переведём угол в градусы: $$\alpha^\circ = 2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ \approx 114{,}59^\circ$$ 3. Найдем длину дуги: $$l = \alpha R = 2 \cdot 5 = 10\text{ см}$$ --- ### 6-й столбец Дано: $l = 10\text{ см}$, $S = 50\text{ см}^2$. 1. Из формулы $S = \frac{1}{2}l R$ выразим радиус: $$R = \frac{2S}{l} = \frac{2 \cdot 50}{10} = 10\text{ см}$$ 2. Найдем угол в радианах: $$\alpha = \frac{l}{R} = \frac{10}{10} = 1\text{ рад}$$ 3. Переведём угол в градусы: $$\alpha^\circ = 1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57{,}3^\circ$$ --- ### Заполненная таблица | Величина | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **Угол, °** | $30^\circ$ | $36^\circ$ | $\left(\frac{90}{\pi}\right)^\circ$ | $\left(\frac{720}{\pi}\right)^\circ$ | $\left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ$ | $\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ$ | | **Угол, рад** | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{5}$ | $0{,}5$ | $4$ | $2$ | $1$ | | **Радиус, см** | $2$ | $\frac{10}{\pi}$ | $10$ | $5$ | $5$ | $10$ | | **Длина дуги, см** | $\frac{\pi}{3}$ | $2$ | $5$ | $20$ | $10$ | $10$ | | **Площадь сектора, см²** | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{10}{\pi}$ | $25$ | $50$ | $25$ | $50$ |