ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 418

В данном задании требуется найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ вокруг начала координат на заданные углы. Так как при повороте на угол $\alpha \pm 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$) совершается целое число полных оборотов, полученная точка совпадает с точкой, полученной при повороте на угол $\alpha$. Координаты этой точки равны $(x; y) = (\cos \alpha; \sin \alpha)$. 1) $\frac{\pi}{4}\pm 2\pi$ Вычислим значения углов: $$ \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} $$ $$ \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} $$ Поворот на угол $\pm 2\pi$ означает один полный оборот (против часовой стрелки или по часовой стрелке), поэтому положение точки совпадает с положением точки при повороте на угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Найдем координаты точки: $$ x = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ y = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ (значения углов: $\frac{9\pi}{4}$ и $-\frac{7\pi}{4}$). 2) $-\frac{\pi}{3}\pm 2\pi$ Вычислим значения углов: $$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{-\pi + 6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $$ $$ -\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{-\pi - 6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3} $$ Слагаемое $\pm 2\pi$ соответствует одному полному обороту, поэтому положение точки совпадает с положением при повороте на угол $\alpha = -\frac{\pi}{3}$. Найдем координаты точки: $$ x = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ $$ y = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: $\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ (значения углов: $\frac{5\pi}{3}$ и $-\frac{7\pi}{3}$). 3) $\frac{2\pi}{3}\pm 6\pi$ Вычислим значения углов: $$ \frac{2\pi}{3} + 6\pi = \frac{2\pi + 18\pi}{3} = \frac{20\pi}{3} $$ $$ \frac{2\pi}{3} - 6\pi = \frac{2\pi - 18\pi}{3} = -\frac{16\pi}{3} $$ Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$ (три полных оборота), положение точки совпадает с положением при повороте на угол $\alpha = \frac{2\pi}{3}$. Найдем координаты точки: $$ x = \cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$ $$ y = \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: $\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ (значения углов: $\frac{20\pi}{3}$ и $-\frac{16\pi}{3}$). 4) $-\frac{3\pi}{4}\pm 8\pi$ Вычислим значения углов: $$ -\frac{3\pi}{4} + 8\pi = \frac{-3\pi + 32\pi}{4} = \frac{29\pi}{4} $$ $$ -\frac{3\pi}{4} - 8\pi = \frac{-3\pi - 32\pi}{4} = -\frac{35\pi}{4} $$ Так как $8\pi = 4 \cdot 2\pi$ (четыре полных оборота), положение точки совпадает с положением при повороте на угол $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$. Найдем координаты точки: $$ x = \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ y = \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\sin\frac{3\pi}{4} = -\sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ (значения углов: $\frac{29\pi}{4}$ и $-\frac{35\pi}{4}$).