ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 296

### Ответ 1) $\dfrac{9}{8}$ (или $1{,}125$) 2) $\dfrac{4}{3}$ (или $1\dfrac{1}{3}$) 3) $\dfrac{1}{2}$ (или $0{,}5$) 4) $0$ --- ### Подробное решение При решении используются основные свойства логарифмов: * $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ * $\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ * $k \log_a x = \log_a (x^k)$ * $\log_a a = 1$ --- #### 1) $\frac{\log_2 24 - \frac{1}{2} \log_2 72}{\log_3 18 - \frac{1}{3} \log_3 72}$ 1. Вычислим числитель: $$\log_2 24 - \frac{1}{2} \log_2 72 = \log_2 24 - \log_2 \left(72^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2 24 - \log_2 \sqrt{72}$$ Так как $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$, получаем: $$\log_2 \left(\frac{24}{6\sqrt{2}}\right) = \log_2 \left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right) = \log_2 (2\sqrt{2}) = \log_2 \left(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2 \left(2^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{3}{2}$$ 2. Вычислим знаменатель: $$\log_3 18 - \frac{1}{3} \log_3 72 = \log_3 18 - \log_3 \left(72^{\frac{1}{3}}\right) = \log_3 18 - \log_3 \sqrt[3]{72}$$ Так как $\sqrt[3]{72} = \sqrt[3]{8 \cdot 9} = 2\sqrt[3]{9} = 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$, получаем: $$\log_3 \left(\frac{18}{2\sqrt[3]{9}}\right) = \log_3 \left(\frac{9}{3^{\frac{2}{3}}}\right) = \log_3 \left(3^{2 - \frac{2}{3}}\right) = \log_3 \left(3^{\frac{4}{3}}\right) = \frac{4}{3}$$ 3. Найдем значение всей дроби: $$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8} = 1{,}125$$ --- #### 2) $\frac{\log_7 14 - \frac{1}{3} \log_7 56}{\log_6 30 - \frac{1}{2} \log_6 150}$ 1. Вычислим числитель: $$\log_7 14 - \frac{1}{3} \log_7 56 = \log_7 14 - \log_7 \sqrt[3]{56}$$ Так как $\sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{8 \cdot 7} = 2\sqrt[3]{7} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{3}}$, получаем: $$\log_7 \left(\frac{14}{2\sqrt[3]{7}}\right) = \log_7 \left(\frac{7}{7^{\frac{1}{3}}}\right) = \log_7 \left(7^{1 - \frac{1}{3}}\right) = \log_7 \left(7^{\frac{2}{3}}\right) = \frac{2}{3}$$ 2. Вычислим знаменатель: $$\log_6 30 - \frac{1}{2} \log_6 150 = \log_6 30 - \log_6 \sqrt{150}$$ Так как $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$, получаем: $$\log_6 \left(\frac{30}{5\sqrt{6}}\right) = \log_6 \left(\frac{6}{\sqrt{6}}\right) = \log_6 (\sqrt{6}) = \log_6 \left(6^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}$$ 3. Найдем значение всей дроби: $$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$ --- #### 3) $\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3 \log_2 2}$ 1. Преобразуем числитель: $$\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10} = \log_2 (4\sqrt{10}) = \log_2 \sqrt{4^2 \cdot 10} = \log_2 \sqrt{160} = \log_2 \left(160^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2} \log_2 160$$ 2. Преобразуем знаменатель: $$\log_2 20 + 3 \log_2 2 = \log_2 20 + \log_2 (2^3) = \log_2 20 + \log_2 8 = \log_2 (20 \cdot 8) = \log_2 160$$ 3. Найдем значение всей дроби: $$\frac{\frac{1}{2} \log_2 160}{\log_2 160} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$ --- #### 4) $\frac{3 \log_7 2 - \frac{1}{2} \log_7 64}{4 \log_5 2 + \frac{1}{3} \log_5 27}$ 1. Преобразуем числитель: $$3 \log_7 2 - \frac{1}{2} \log_7 64 = \log_7 (2^3) - \log_7 \sqrt{64} = \log_7 8 - \log_7 8 = 0$$ 2. Проверим знаменатель: $$4 \log_5 2 + \frac{1}{3} \log_5 27 = \log_5 (2^4) + \log_5 \sqrt[3]{27} = \log_5 16 + \log_5 3 = \log_5 (16 \cdot 3) = \log_5 48 \neq 0$$ 3. Знаменатель не равен нулю, следовательно: $$\frac{0}{\log_5 48} = 0$$