ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 294

### Ответ 1) $\dfrac{3}{4}$ (или $0{,}75$) 2) $\dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$ (или $1{,}5$) 3) $\dfrac{1}{2}$ (или $0{,}5$) 4) $-3$ --- ### Подробное объяснение При решении данных примеров используются основные свойства логарифмов: 1. Вынесение степени из аргумента: $\log_a (b^p) = p \log_a b$ 2. Логарифм частного (разность логарифмов): $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\dfrac{b}{c}\right)$ --- #### 1) $\dfrac{\log_{3}8}{\log_{3}16}$ Представим числа под знаками логарифмов как степени числа $2$: * $8 = 2^3$ * $16 = 2^4$ Подставим и вынесем показатели степеней за знак логарифма: $$\frac{\log_{3}8}{\log_{3}16} = \frac{\log_{3}(2^3)}{\log_{3}(2^4)} = \frac{3\log_{3}2}{4\log_{3}2}$$ Сократим дробь на общий множитель $\log_{3}2$: $$\frac{3\log_{3}2}{4\log_{3}2} = \frac{3}{4} = 0{,}75$$ --- #### 2) $\dfrac{\log_{5}27}{\log_{5}9}$ Представим числа под знаками логарифмов как степени числа $3$: * $27 = 3^3$ * $9 = 3^2$ Преобразуем выражение: $$\frac{\log_{5}27}{\log_{5}9} = \frac{\log_{5}(3^3)}{\log_{5}(3^2)} = \frac{3\log_{5}3}{2\log_{5}3}$$ Сократим на $\log_{5}3$: $$\frac{3\log_{5}3}{2\log_{5}3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1{,}5$$ --- #### 3) $\dfrac{\log_{5}36-\log_{5}12}{\log_{5}9}$ 1. Применим свойство разности логарифмов к числителю: $$\log_{5}36 - \log_{5}12 = \log_{5}\left(\frac{36}{12}\right) = \log_{5}3$$ 2. Преобразуем знаменатель: $$\log_{5}9 = \log_{5}(3^2) = 2\log_{5}3$$ 3. Подставим полученные значения в исходную дробь и сократим на $\log_{5}3$: $$\frac{\log_{5}36-\log_{5}12}{\log_{5}9} = \frac{\log_{5}3}{2\log_{5}3} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$ --- #### 4) $\dfrac{\log_{7}8}{\log_{7}15-\log_{7}30}$ 1. Преобразуем числитель: $$\log_{7}8 = \log_{7}(2^3) = 3\log_{7}2$$ 2. Применим свойство разности логарифмов к знаменателю: $$\log_{7}15 - \log_{7}30 = \log_{7}\left(\frac{15}{30}\right) = \log_{7}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{7}(2^{-1}) = -\log_{7}2$$ 3. Подставим полученные результаты в дробь и сократим на $\log_{7}2$: $$\frac{\log_{7}8}{\log_{7}15-\log_{7}30} = \frac{3\log_{7}2}{-\log_{7}2} = -3$$