ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 293

### Ответ 1) $\dfrac{4}{3}$ (или $1\dfrac{1}{3}$) 2) $\dfrac{3}{2}$ (или $1,5$) 3) $-2$ 4) $-4$ --- ### Подробное решение При решении используются основные свойства логарифмов: 1. Логарифм произведения: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ 2. Логарифм частного: $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\dfrac{x}{y}\right)$ 3. Логарифм степени: $k \cdot \log_a x = \log_a (x^k)$ 4. Формула вычисления логарифма степени: $\log_{a^m} (a^n) = \dfrac{n}{m}$ --- #### 1) $\log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20$ Объединим слагаемые по свойствам суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием $8$: $$\log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20 = \log_8 \left( \frac{12 \cdot 20}{15} \right)$$ Сократим дробь: $$\frac{12 \cdot 20}{15} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$$ Вычислим значение получившегося логарифма, представив основание и подлогарифмическое выражение как степени числа $2$: $$\log_8 16 = \log_{2^3} (2^4) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$ --- #### 2) $\log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10$ Используем свойства суммы и разности логарифмов с основанием $9$: $$\log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10 = \log_9 \left( \frac{15 \cdot 18}{10} \right)$$ Упростим выражение под знаком логарифма: $$\frac{15 \cdot 18}{10} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$$ Представим основание и аргумент через степени числа $3$: $$\log_9 27 = \log_{3^2} (3^3) = \frac{3}{2} = 1,5$$ --- #### 3) $\frac{1}{2} \log_7 36 - \log_7 14 - 3 \log_7 \sqrt[3]{21}$ Сначала внесем коэффициенты перед логарифмами в показатели степеней подлогарифмических выражений: * $\frac{1}{2} \log_7 36 = \log_7 (36^{\frac{1}{2}}) = \log_7 \sqrt{36} = \log_7 6$ * $3 \log_7 \sqrt[3]{21} = \log_7 \left((\sqrt[3]{21})^3\right) = \log_7 21$ Подставим полученные выражения в исходный пример: $$\log_7 6 - \log_7 14 - \log_7 21$$ Применим свойство разности логарифмов: $$\log_7 6 - (\log_7 14 + \log_7 21) = \log_7 \left( \frac{6}{14 \cdot 21} \right)$$ Сократим дробь: $$\frac{6}{14 \cdot 21} = \frac{3}{7 \cdot 21} = \frac{1}{7 \cdot 7} = \frac{1}{49}$$ Запишем $\frac{1}{49}$ как степень числа $7$: $$\log_7 \left(\frac{1}{49}\right) = \log_7 (7^{-2}) = -2$$ --- #### 4) $2 \log_{\frac{1}{3}} 6 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 + 3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45}$ Внесем множители перед логарифмами в показатели степеней: * $2 \log_{\frac{1}{3}} 6 = \log_{\frac{1}{3}} (6^2) = \log_{\frac{1}{3}} 36$ * $\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 = \log_{\frac{1}{3}} (400^{\frac{1}{2}}) = \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{400} = \log_{\frac{1}{3}} 20$ * $3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45} = \log_{\frac{1}{3}} \left((\sqrt[3]{45})^3\right) = \log_{\frac{1}{3}} 45$ Подставим преобразованные слагаемые: $$\log_{\frac{1}{3}} 36 - \log_{\frac{1}{3}} 20 + \log_{\frac{1}{3}} 45$$ Объединим логарифмы: $$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{36 \cdot 45}{20} \right)$$ Выполним сокращение: $$\frac{36 \cdot 45}{20} = \frac{36 \cdot 9}{4} = 9 \cdot 9 = 81$$ Вычислим значение логарифма: $$\log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} (3^4) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}\right) = -4$$