ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 298

**1)** Вычислим значение выражения: $$ 36^{\log_6 5} + 10^{1 - \log_{10} 2} - 8^{\log_2 3} $$ Преобразуем каждое слагаемое отдельно, используя свойства степеней и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: 1. $36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2\log_6 5} = 6^{\log_6 5^2} = 5^2 = 25$; 2. $10^{1 - \log_{10} 2} = \frac{10^1}{10^{\log_{10} 2}} = \frac{10}{2} = 5$; 3. $8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 3^3 = 27$. Подставим найденные значения: $$ 25 + 5 - 27 = 3 $$ Ответ: $3$. --- **2)** Вычислим значение выражения: $$ \left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} + 25^{\log_{125} 8}\right) \cdot 49^{\log_7 2} $$ Упростим каждую часть выражения: 1. Первое слагаемое в скобках: $$ 81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\log_9 4} = \frac{81^{\frac{1}{4}}}{81^{\frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{(3^4)^{\frac{1}{4}}}{(9^2)^{\frac{1}{2}\log_9 4}} = \frac{3}{9^{\log_9 4}} = \frac{3}{4} $$ 2. Второе слагаемое в скобках, используя свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$: $$ 25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 2^3} = (5^2)^{\frac{3}{3}\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 2^2 = 4 $$ 3. Множитель за скобками: $$ 49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 2^2 = 4 $$ Выполним действия: $$ \left(\frac{3}{4} + 4\right) \cdot 4 = \frac{3}{4} \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 3 + 16 = 19 $$ Ответ: $19$. --- **3)** Вычислим значение выражения: $$ 16^{1 + \log_4 5} + 4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5} $$ Преобразуем слагаемые: 1. Первое слагаемое: $$ 16^{1 + \log_4 5} = 16^1 \cdot 16^{\log_4 5} = 16 \cdot (4^2)^{\log_4 5} = 16 \cdot 4^{2\log_4 5} = 16 \cdot 4^{\log_4 5^2} = 16 \cdot 25 = 400 $$ 2. Второе слагаемое: $$ 4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + 3\log_8 5} = 4^{\frac{1}{2}\log_2 3} \cdot 4^{3\log_8 5} $$ Упростим каждый множитель: $$ 4^{\frac{1}{2}\log_2 3} = (2^2)^{\frac{1}{2}\log_2 3} = 2^{\log_2 3} = 3 $$ $$ 4^{3\log_8 5} = 4^{3\log_{2^3} 5} = 4^{3 \cdot \frac{1}{3}\log_2 5} = 4^{\log_2 5} = (2^2)^{\log_2 5} = 2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 5^2} = 5^2 = 25 $$ Тогда второе слагаемое равно: $$ 3 \cdot 25 = 75 $$ Сложим полученные результаты: $$ 400 + 75 = 475 $$ Ответ: $475$. --- **4)** Вычислим значение выражения: $$ 72 \cdot \left(49^{\frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6} + 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}\right) $$ Преобразуем выражения внутри скобок: 1. Показатель первой степени: $$ \frac{1}{2}\log_7 9 - \log_7 6 = \log_7 9^{\frac{1}{2}} - \log_7 6 = \log_7 3 - \log_7 6 = \log_7 \frac{3}{6} = \log_7 \frac{1}{2} $$ Тогда первое слагаемое: $$ 49^{\log_7 \frac{1}{2}} = (7^2)^{\log_7 \frac{1}{2}} = 7^{2\log_7 \frac{1}{2}} = 7^{\log_7 \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ 2. Второе слагаемое в скобках: $$ 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4} = 5^{-\log_{5^{\frac{1}{2}}} 4} = 5^{-2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^{-2}} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} $$ 3. Выполним сложение в скобках: $$ \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} $$ 4. Умножим на 72: $$ 72 \cdot \frac{5}{16} = \frac{72 \cdot 5}{16} = \frac{9 \cdot 5}{2} = \frac{45}{2} = 22{,}5 $$ Ответ: $22{,}5$.