ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 172

**1)** $\sqrt{x} \geqslant x$ Область определения неравенства: $x \geqslant 0$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$. 1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$. 2. График функции $y = x$ — прямая, проходящая через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 2)$. Найдем абсциссы точек пересечения графиков из уравнения $\sqrt{x} = x$: при возведении обеих неотрицательных частей в квадрат получаем $x = x^2$, откуда $x(x - 1) = 0$, то есть $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Графики пересекаются в точках $(0; 0)$ и $(1; 1)$. Неравенству $\sqrt{x} \geqslant x$ соответствуют те значения $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика прямой $y = x$ или совпадает с ним. По графику видно, что это условие выполняется на отрезке $[0; 1]$. Ответ: $[0; 1]$ (или $0 \leqslant x \leqslant 1$). --- **2)** $\sqrt{x} < x$ Область определения неравенства: $x \geqslant 0$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$. 1. График $y = \sqrt{x}$ проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$. 2. График $y = x$ проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 2)$. Графики пересекаются в точках $(0; 0)$ и $(1; 1)$. Неравенству $\sqrt{x} < x$ соответствуют те значения $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x}$ расположен строго ниже графика функции $y = x$. По графику видно, что при $x > 1$ прямая $y = x$ лежит выше ветви параболы $y = \sqrt{x}$. Ответ: $(1; +\infty)$ (или $x > 1$). --- **3)** $\sqrt{x} > x - 2$ Область определения неравенства: $x \geqslant 0$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 2$. 1. График функции $y = \sqrt{x}$ определен при $x \geqslant 0$ и проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$. 2. График функции $y = x - 2$ — прямая, проходящая через точки $(0; -2)$, $(2; 0)$, $(4; 2)$. Найдем абсциссу точки пересечения графиков: при $x = 4$ получаем $\sqrt{4} = 2$ и $4 - 2 = 2$. Графики пересекаются в единственной точке $(4; 2)$. Неравенству $\sqrt{x} > x - 2$ соответствуют те значения $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x}$ лежит строго выше прямой $y = x - 2$. С учетом области определения $x \geqslant 0$, график $y = \sqrt{x}$ находится выше прямой $y = x - 2$ от начальной точки $x = 0$ до точки пересечения $x = 4$. При $x = 0$: $\sqrt{0} = 0$, а $0 - 2 = -2$, то есть $0 > -2$ (неравенство верно). Таким образом, решение неравенства: $0 \leqslant x < 4$. Ответ: $[0; 4)$ (или $0 \leqslant x < 4$). --- **4)** $\sqrt{x} \leqslant x - 2$ Область определения неравенства: $x \geqslant 0$. Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 2$. 1. График $y = \sqrt{x}$ проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$. 2. График прямой $y = x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$, $(2; 0)$, $(4; 2)$. Точка пересечения графиков — $(4; 2)$. Неравенству $\sqrt{x} \leqslant x - 2$ соответствуют те значения $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x}$ лежит ниже прямой $y = x - 2$ или пересекается с ней. По графику видно, что ветвь параболы $y = \sqrt{x}$ лежит не выше прямой $y = x - 2$ при всех $x \geqslant 4$. Ответ: $[4; +\infty)$ (или $x \geqslant 4$).