ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 175

1) $y = x^9$ * **Область определения:** показатель степени — натуральное нечётное число, выражение определено при любых значениях $x$: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Множество значений:** нечётная степень действительного числа может принимать любые значения: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Схематический график:** * Функция нечётная ($(-x)^9 = -x^9$), поэтому график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. * Функция строго возрастает на всей числовой прямой. * График проходит через характерные точки: $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$. * По форме напоминает кубическую параболу: ветвь из III четверти проходит через точку $(0; 0)$ и круто уходит вверх в I четверть (на интервале $(-1; 1)$ график сильнее прижат к оси $Ox$, а при $|x| > 1$ растёт значительно быстрее). --- 2) $y = 7x^4$ * **Область определения:** выражение определено при любых действительных $x$: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Множество значений:** так как $x^4 \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, то $7x^4 \ge 0$: $$ E(y) = [0; +\infty) $$ * **Схематический график:** * Функция чётная ($7(-x)^4 = 7x^4$), поэтому график симметричен относительно оси ординат $Oy$. * График представляет собой параболу четвёртой степени с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви которой направлены вверх (расположены в I и II четвертях). * Коэффициент $7$ растягивает график вдоль оси $Oy$ в $7$ раз. * График проходит через характерные точки: $(-1; 7)$, $(0; 0)$, $(1; 7)$. --- 3) $y = \sqrt{x}$ * **Область определения:** подкоренное выражение арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным ($x \ge 0$): $$ D(y) = [0; +\infty) $$ * **Множество значений:** арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения: $$ E(y) = [0; +\infty) $$ * **Схематический график:** * График целиком лежит в I четверти. * Начинается в точке $(0; 0)$ и плавно возрастает вправо. * Представляет собой верхнюю ветвь параболы, ориентированной вдоль оси $Ox$. * График проходит через характерные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$. --- 4) $y = \sqrt[3]{x}$ * **Область определения:** корень нечётной степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Множество значений:** значения корня третьей степени могут быть любыми действительными числами: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Схематический график:** * Функция нечётная ($\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$), поэтому график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. * Функция монотонно возрастает на всей области определения. * График проходит через характерные точки: $(-8; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(8; 2)$. * По форме кривая аналогична кубической параболе, но ориентирована вдоль оси абсцисс $Ox$ (ветви идут из III четверти в I). --- 5) $y = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ * **Область определения:** знаменатель дроби не должен обращаться в нуль ($x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$): $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ * **Множество значений:** так как $x^2 > 0$ при всех $x \neq 0$, то дробь $\dfrac{1}{x^2} > 0$: $$ E(y) = (0; +\infty) $$ * **Схематический график:** * Функция чётная ($(-x)^{-2} = x^{-2}$), её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. * Обе ветви графика расположены выше оси $Ox$ (в I и II четвертях). * На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает, а на промежутке $(0; +\infty)$ убывает. * Оси координат являются асимптотами графика: при $x \to 0$ ветви неограниченно уходят вверх вдоль оси $Oy$ ($y \to +\infty$), а при $|x| \to \infty$ приближаются к оси $Ox$ ($y \to 0$). * График проходит через характерные точки: $(-1; 1)$ и $(1; 1)$. --- 6) $y = x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}$ * **Область определения:** знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($x^3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$): $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ * **Множество значений:** дробь принимает любые действительные значения, кроме нуля: $$ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ * **Схематический график:** * Функция нечётная ($(-x)^{-3} = -x^{-3}$), график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. * График имеет вид гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. * Функция строго убывает на каждом из промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. * Оси координат служат асимптотами графика: вертикальная асимптота $x = 0$ и горизонтальная асимптота $y = 0$. * График проходит через характерные точки: $(-1; -1)$ и $(1; 1)$.