ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 170

1) $\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x}$ Обе части неравенства неотрицательны при допустимых значениях переменной, поэтому исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 2 > 4 - x \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $$ Условие $x + 2 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $x + 2 > 4 - x \ge 0$. Решим каждое неравенство системы: $$ \begin{cases} 2x > 2 \\ -x \ge -4 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 1 \\ x \le 4 \end{cases} $$ Найдём пересечение решений: $$ 1 < x \le 4 $$ Ответ: $(1; 4]$. --- 2) $\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{x+1}$ Данное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 3 + 2x \ge x + 1 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $$ Решим неравенства: $$ \begin{cases} 2x - x \ge 1 - 3 \\ x \ge -1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -1 \end{cases} $$ Пересечением промежутков $[-2; +\infty)$ и $[-1; +\infty)$ является: $$ x \ge -1 $$ Ответ: $[-1; +\infty)$. --- 3) $\sqrt{2x-5} < \sqrt{5x+4}$ Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x - 5 < 5x + 4 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases} $$ Решим неравенства системы: $$ \begin{cases} 2x - 5x < 4 + 5 \\ 2x \ge 5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -3x < 9 \\ x \ge 2{,}5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -3 \\ x \ge 2{,}5 \end{cases} $$ Пересечением является: $$ x \ge 2{,}5 $$ Ответ: $[2{,}5; +\infty)$. --- 4) $\sqrt{3x-2} > x-2$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x - 2 < 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 3x - 2 > (x - 2)^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases} \implies \frac{2}{3} \le x < 2 $$ Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \ge 2 \\ 3x - 2 > x^2 - 4x + 4 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 - 7x + 6 < 0 $$ Корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 6 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Следовательно, решением неравенства является интервал $(1; 6)$. С учётом условия $x \ge 2$: $$ \begin{cases} x \ge 2 \\ 1 < x < 6 \end{cases} \implies 2 \le x < 6 $$ Объединим решения обеих систем: $$ \left[\frac{2}{3}; 2\right) \cup [2; 6) = \left[\frac{2}{3}; 6\right) $$ Ответ: $\left[\frac{2}{3}; 6\right)$. --- 5) $\sqrt{5x+11} > x+3$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x + 3 < 0 \\ 5x + 11 \ge 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 5x + 11 > (x + 3)^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < -3 \\ x \ge -2{,}2 \end{cases} $$ Так как $-2{,}2 > -3$, эта система решений не имеет. Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \ge -3 \\ 5x + 11 > x^2 + 6x + 9 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 + x - 2 < 0 $$ Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Решение неравенства: $-2 < x < 1$. С учётом условия $x \ge -3$: $$ \begin{cases} x \ge -3 \\ -2 < x < 1 \end{cases} \implies -2 < x < 1 $$ Ответ: $(-2; 1)$. --- 6) $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}$ Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 3 - x < 3x - 5 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $$ Решим неравенства: $$ \begin{cases} -x - 3x < -5 - 3 \\ -x \ge -3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -4x < -8 \\ x \le 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 2 \\ x \le 3 \end{cases} $$ Пересечением является: $$ 2 < x \le 3 $$ Ответ: $(2; 3]$.