ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 171

**1)** Решим неравенство: $$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} < \sqrt{x-1}$$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \iff x \ge 1$$ ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$. 2. Перенесём слагаемое $-\sqrt{x}$ в правую часть, чтобы обе части неравенства были неотрицательными: $$\sqrt{x+1} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x}$$ Так как обе части неравенства неотрицательны при $x \ge 1$, возведём их в квадрат: $$(\sqrt{x+1})^2 < (\sqrt{x-1} + \sqrt{x})^2$$ $$x + 1 < (x - 1) + 2\sqrt{x(x-1)} + x$$ $$x + 1 < 2x - 1 + 2\sqrt{x^2 - x}$$ Уединим корень: $$2\sqrt{x^2 - x} > 2 - x$$ 3. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части: * **Случай 1:** Правая часть неположительна: $$2 - x \le 0 \iff x \ge 2$$ Так как левая часть $2\sqrt{x^2 - x}$ при $x \ge 2$ неотрицательна, а правая часть неположительна, неравенство выполняется для всех $x \ge 2$. С учётом ОДЗ получаем: $$x \in [2; +\infty)$$ * **Случай 2:** Правая часть положительна: $$2 - x > 0 \iff x < 2$$ С учётом ОДЗ получаем интервал $x \in [1; 2)$. В этом случае обе части неравенства положительны, поэтому возведём их в квадрат: $$(2\sqrt{x^2 - x})^2 > (2 - x)^2$$ $$4(x^2 - x) > 4 - 4x + x^2$$ $$4x^2 - 4x > 4 - 4x + x^2$$ $$3x^2 > 4$$ $$x^2 > \frac{4}{3}$$ Так как $x \ge 1 > 0$, получаем: $$x > \sqrt{\frac{4}{3}} \iff x > \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ Пересекая с условием $x \in [1; 2)$ и учитывая, что $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15 > 1$, получаем: $$x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 2\right)$$ 4. Объединим решения из обоих случаев: $$x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 2\right) \cup [2; +\infty) \iff x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty\right)$$ **Ответ:** $x \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty\right)$. --- **2)** Решим неравенство: $$\sqrt{x+3} < \sqrt{7-x} + \sqrt{10-x}$$ 1. Найдём ОДЗ неравенства: $$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 7 \\ x \le 10 \end{cases} \iff -3 \le x \le 7$$ ОДЗ: $x \in [-3; 7]$. 2. Обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, поэтому возведём их в квадрат: $$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{7-x} + \sqrt{10-x})^2$$ $$x + 3 < (7 - x) + 2\sqrt{(7-x)(10-x)} + (10 - x)$$ $$x + 3 < 17 - 2x + 2\sqrt{(7-x)(10-x)}$$ Перенесём слагаемые без корня в левую часть: $$3x - 14 < 2\sqrt{x^2 - 17x + 70}$$ 3. Рассмотрим два случая в зависимости от знака левой части: * **Случай 1:** Левая часть отрицательна: $$3x - 14 < 0 \iff x < \frac{14}{3}$$ Так как правая часть с корнем неотрицательна при всех $x$ из ОДЗ, отрицательное число всегда строго меньше неотрицательного. С учётом ОДЗ получаем: $$x \in \left[-3; \frac{14}{3}\right)$$ * **Случай 2:** Левая часть неотрицательна: $$3x - 14 \ge 0 \iff x \ge \frac{14}{3}$$ С учётом ОДЗ получаем промежуток $x \in \left[\frac{14}{3}; 7\right]$. Так как обе части неотрицательны, возведём их в квадрат: $$(3x - 14)^2 < (2\sqrt{x^2 - 17x + 70})^2$$ $$9x^2 - 84x + 196 < 4(x^2 - 17x + 70)$$ $$9x^2 - 84x + 196 < 4x^2 - 68x + 280$$ $$5x^2 - 16x - 84 < 0$$ Найдём корни уравнения $5x^2 - 16x - 84 = 0$: $$D_1 = (-8)^2 - 5 \cdot (-84) = 64 + 420 = 484 = 22^2$$ $$x_1 = \frac{8 - 22}{5} = -\frac{14}{5} = -2{,}8$$ $$x_2 = \frac{8 + 22}{5} = 6$$ Решением квадратного неравенства является интервал между корнями: $$x \in (-2{,}8; 6)$$ Найдём пересечение с условием $x \in \left[\frac{14}{3}; 7\right]$: $$x \in \left[\frac{14}{3}; 6\right)$$ 4. Объединим решения из обоих случаев: $$x \in \left[-3; \frac{14}{3}\right) \cup \left[\frac{14}{3}; 6\right) \iff x \in [-3; 6)$$ **Ответ:** $x \in [-3; 6)$.