ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 150

**Доказательство:** Два уравнения с одной переменной называют равносильными на некотором множестве $X$, если множества их корней на этом множестве совпадают (в частности, если оба уравнения не имеют корней на этом множестве). Для доказательства равносильности покажем, что любой корень первого уравнения на множестве $X$ является корнем второго уравнения, и наоборот, любой корень второго уравнения на множестве $X$ является корнем первого уравнения. 1. Пусть $x_0 \in X$ — произвольный корень уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что при $x = x_0$ достигается верное числовое равенство: $$ f(x_0) = g(x_0) $$ Так как функция $\varphi(x)$ определена на множестве $X$, значение $\varphi(x_0)$ является действительным числом. Умножим обе части равенства на число $\varphi(x_0)$: $$ f(x_0) \cdot \varphi(x_0) = g(x_0) \cdot \varphi(x_0) $$ Полученное верное числовое равенство означает, что $x_0$ является корнем уравнения: $$ f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) $$ Таким образом, каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения. 2. Пусть теперь $x_1 \in X$ — произвольный корень уравнения $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$. Тогда верно числовое равенство: $$ f(x_1) \cdot \varphi(x_1) = g(x_1) \cdot \varphi(x_1) $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ f(x_1) \cdot \varphi(x_1) - g(x_1) \cdot \varphi(x_1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $\varphi(x_1)$ за скобки: $$ (f(x_1) - g(x_1)) \cdot \varphi(x_1) = 0 $$ Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. По условию $\varphi(x) \neq 0$ для всех $x \in X$, следовательно, $\varphi(x_1) \neq 0$. Значит, нулю равен первый множитель: $$ f(x_1) - g(x_1) = 0 $$ $$ f(x_1) = g(x_1) $$ Полученное равенство означает, что $x_1$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Таким образом, каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения. Так как множества корней уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$ на множестве $X$ совпадают, данные уравнения равносильны. Что и требовалось доказать.