ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 149

1) Решим неравенство: $$ x^3 - 3x^2 + 2x - 6 > 2x^3 - x^2 + 4x - 2 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства: $$ x^3 - 3x^2 + 2x - 6 - (2x^3 - x^2 + 4x - 2) > 0 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ x^3 - 3x^2 + 2x - 6 - 2x^3 + x^2 - 4x + 2 > 0 $$ $$ -x^3 - 2x^2 - 2x - 4 > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^3 + 2x^2 + 2x + 4 < 0 $$ Разложим левую часть на множители способом группировки: $$ (x^3 + 2x^2) + (2x + 4) < 0 $$ $$ x^2(x + 2) + 2(x + 2) < 0 $$ $$ (x + 2)(x^2 + 2) < 0 $$ Так как для любого действительного числа $x$ выполняется $x^2 \ge 0$, выражение $x^2 + 2 \ge 2 > 0$ всегда строго положительно. Разделим обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 + 2)$: $$ x + 2 < 0 $$ $$ x < -2 $$ Ответ: $x \in (-\infty; -2)$. --- 2) Решим неравенство: $$ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 > -3x^3 + x^2 + 12x - 4 $$ Перенесём все члены неравенства в левую часть: $$ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 - (-3x^3 + x^2 + 12x - 4) > 0 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 + 3x^3 - x^2 - 12x + 4 > 0 $$ $$ 4x^3 - 4x^2 - 16x + 16 > 0 $$ Разделим обе части неравенства на $4$: $$ x^3 - x^2 - 4x + 4 > 0 $$ Сгруппируем слагаемые в левой части: $$ (x^3 - x^2) - (4x - 4) > 0 $$ $$ x^2(x - 1) - 4(x - 1) > 0 $$ $$ (x^2 - 4)(x - 1) > 0 $$ Применим формулу разности квадратов $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$: $$ (x - 2)(x + 2)(x - 1) > 0 $$ Применим метод интервалов. Найдём нули функции $f(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 1)$: $$ x = -2, \quad x = 1, \quad x = 2 $$ Отметим полученные точки на числовой прямой (точки выколотые, так как неравенство строгое) и определим знаки функции на образовавшихся интервалах: - на интервале $(2; +\infty)$: возьмём $x = 3$, тогда $(3 - 2)(3 + 2)(3 - 1) = 1 \cdot 5 \cdot 2 = 10 > 0$ (знак «$+$»); - на интервале $(1; 2)$: возьмём $x = 1{,}5$, тогда $(1{,}5 - 2)(1{,}5 + 2)(1{,}5 - 1) = (-0{,}5) \cdot 3{,}5 \cdot 0{,}5 < 0$ (знак «$-»$); - на интервале $(-2; 1)$: возьмём $x = 0$, тогда $(0 - 2)(0 + 2)(0 - 1) = (-2) \cdot 2 \cdot (-1) = 4 > 0$ (знак «$+$»); - на интервале $(-\infty; -2)$: возьмём $x = -3$, тогда $(-3 - 2)(-3 + 2)(-3 - 1) = (-5) \cdot (-1) \cdot (-4) = -20 < 0$ (знак «$-»$). Так как требуется решить неравенство со знаком $> 0$, выбираем интервалы со знаком «$+$»: $$ x \in (-2; 1) \cup (2; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (2; +\infty)$.