ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 148

**1)** Решим дробно-рациональное уравнение: $$ \frac{3}{x-1} - \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} - 5 $$ Разложим знаменатель $x^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели дробей не должны быть равны нулю, то есть $$ \begin{cases} x - 1 \neq 0, \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies x \neq 1 \quad \text{и} \quad x \neq -1 $$ Общий знаменатель дробей равен $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель при условии $x \neq \pm 1$: $$ 3(x+1) - (4x-1)(x-1) = x^2 + 5 - 5(x^2 - 1) $$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$ 3x + 3 - (4x^2 - 4x - x + 1) = x^2 + 5 - 5x^2 + 5 $$ $$ 3x + 3 - 4x^2 + 5x - 1 = -4x^2 + 10 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -4x^2 + 8x + 2 = -4x^2 + 10 $$ Прибавим $4x^2$ к обеим частям уравнения: $$ 8x + 2 = 10 $$ $$ 8x = 10 - 2 $$ $$ 8x = 8 $$ $$ x = 1 $$ Проверим полученное значение по ОДЗ: при $x = 1$ знаменатели $x - 1$ и $x^2 - 1$ обращаются в ноль, следовательно, $x = 1$ является посторонним корнем. Ответ: корней нет. --- **2)** Решим дробно-рациональное уравнение: $$ \frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2 - 4} = \frac{x-2}{x+2} - \frac{4(3+x)}{4-x^2} $$ Учтем, что $4 - x^2 = -(x^2 - 4)$. Изменим знак перед последней дробью: $$ \frac{x+2}{x-2} - \frac{x(x-4)}{x^2 - 4} = \frac{x-2}{x+2} + \frac{4(3+x)}{x^2 - 4} $$ Разложим знаменатель $x^2 - 4$ на множители: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 \neq 0, \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \implies x \neq 2 \quad \text{и} \quad x \neq -2 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$ при условии $x \neq \pm 2$: $$ (x+2)(x+2) - x(x-4) = (x-2)(x-2) + 4(3+x) $$ $$ (x+2)^2 - x(x-4) = (x-2)^2 + 4(3+x) $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 4x) = x^2 - 4x + 4 + 12 + 4x $$ $$ x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x = x^2 + 16 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 8x + 4 = x^2 + 16 $$ Перенесем все члены уравнения в правую часть: $$ x^2 - 8x + 16 - 4 = 0 $$ $$ x^2 - 8x + 12 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Проверим найденные корни по ОДЗ: - значение $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$ (обращает знаменатели в ноль), значит, это посторонний корень; - значение $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \neq \pm 2$). Ответ: $x = 6$.