ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 147

Решим дробно-рациональное уравнение: $$ \frac{1}{3x+1} - \frac{2}{3x-1} - \frac{5x}{9x^2-1} = \frac{3x^2}{1-9x^2} $$ Разложим знаменатели на множители по формуле разности квадратов: $9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)$. Заметим, что в правой части знаменатель $1 - 9x^2 = -(9x^2 - 1)$. Вынесем знак «минус» перед дробью: $$ \frac{3x^2}{1-9x^2} = -\frac{3x^2}{9x^2-1} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: $$ (3x - 1)(3x + 1) \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}, \quad x \neq -\frac{1}{3} $$ Перенесем слагаемое из правой части в левую и запишем все дроби с общим знаменателем $(3x - 1)(3x + 1)$: $$ \frac{1}{3x+1} - \frac{2}{3x-1} - \frac{5x}{(3x-1)(3x+1)} + \frac{3x^2}{(3x-1)(3x+1)} = 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(3x - 1)(3x + 1)$: $$ \frac{1 \cdot (3x - 1) - 2 \cdot (3x + 1) - 5x + 3x^2}{(3x - 1)(3x + 1)} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравняем числитель к нулю: $$ (3x - 1) - 2(3x + 1) - 5x + 3x^2 = 0 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 3x - 1 - 6x - 2 - 5x + 3x^2 = 0 $$ $$ 3x^2 - 8x - 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$ Проверим полученные корни с учетом ОДЗ: - $x = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ (обращает знаменатель в ноль) — посторонний корень; - $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: 3