ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1350

**1)** $(\log_{2}x)^{2} - 3\log_{2}x + 2 = 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля, то есть $x > 0$. Введем новую переменную. Пусть $t = \log_{2}x$. Тогда уравнение принимает вид: $$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 $$ Вернемся к исходной переменной: 1) $\log_{2}x = 1$ $$ x = 2^1 $$ $$ x = 2 $$ 2) $\log_{2}x = 2$ $$ x = 2^2 $$ $$ x = 4 $$ Оба найденных значения удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $2$; $4$. --- **2)** $(\log_{3}x)^{2} + 5 = 2\log_{3}x^{3}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0 \\ x^3 > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ Используем свойство логарифма степени $\log_{a}(b^p) = p\log_{a}b$ при $x > 0$: $$ \log_{3}x^3 = 3\log_{3}x $$ Подставим это выражение в уравнение: $$ (\log_{3}x)^{2} + 5 = 2 \cdot 3\log_{3}x $$ $$ (\log_{3}x)^{2} - 6\log_{3}x + 5 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \log_{3}x$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 6t + 5 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 6 \\ t_1 \cdot t_2 = 5 \end{cases} \implies t_1 = 1, \quad t_2 = 5 $$ Вернемся к исходной переменной: 1) $\log_{3}x = 1$ $$ x = 3^1 $$ $$ x = 3 $$ 2) $\log_{3}x = 5$ $$ x = 3^5 $$ $$ x = 243 $$ Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $3$; $243$.