ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1347

**1)** Решим показательное уравнение: $$ \left(\frac{4}{9}\right)^{x}\cdot\left(\frac{27}{8}\right)^{x-1}=\frac{2}{3} $$ Приведем все степени к одному основанию $\frac{2}{3}$. Заметим, что: $$ \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2}, \quad \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} $$ Подставим эти выражения в исходное уравнение: $$ \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right)^{x}\cdot\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^{x-1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{1} $$ Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3(x-1)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{1} $$ $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x - 3(x-1)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{1} $$ Так как основания степеней равны и не равны $1$, приравняем их показатели: $$ 2x - 3(x-1) = 1 $$ Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение: $$ 2x - 3x + 3 = 1 $$ $$ -x = 1 - 3 $$ $$ -x = -2 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $x = 2$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \sqrt[3]{2^{x}}\cdot\sqrt[3]{3^{x}}=216 $$ Используя свойство корня степени $n$ из произведения $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим множители под одним знаком радикала: $$ \sqrt[3]{2^{x}\cdot 3^{x}} = 216 $$ Так как $2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$, получаем: $$ \sqrt[3]{6^{x}} = 216 $$ Запишем корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{6^x} = 6^{\frac{x}{3}}$, а число $216$ представим как степень числа $6$: $216 = 6^3$: $$ 6^{\frac{x}{3}} = 6^{3} $$ Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $$ \frac{x}{3} = 3 $$ $$ x = 3 \cdot 3 $$ $$ x = 9 $$ Ответ: $x = 9$.