ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1349

**1)** $3^{2x} - 3^x = 72$ Перепишем уравнение, представив $3^{2x}$ как $(3^x)^2$: $$ (3^x)^2 - 3^x - 72 = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = 3^x$, причём $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - t - 72 = 0 $$ Найдём корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2 $$ $$ t_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9 $$ $$ t_2 = \frac{1 - 17}{2} = -8 $$ Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Вернёмся к замене для $t_1 = 9$: $$ 3^x = 9 $$ $$ 3^x = 3^2 $$ $$ x = 2 $$ **Ответ:** $2$ --- **2)** $4^x - 2^{x+1} = 48$ Преобразуем степени с помощью свойств степеней: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$: $$ (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 48 = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = 2^x$, причём $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 2t - 48 = 0 $$ Найдём корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2 $$ $$ t_1 = \frac{2 + 14}{2} = 8 $$ $$ t_2 = \frac{2 - 14}{2} = -6 $$ Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Вернёмся к замене для $t_1 = 8$: $$ 2^x = 8 $$ $$ 2^x = 2^3 $$ $$ x = 3 $$ **Ответ:** $3$